Арифметика Пифагора строилась на точках, нарисованных на песке, или камешках, которые легко можно было расположить разными группами. Ему пришлось провести много математических опытов, определяя, сколько камешков заполнят определенную фигуру. Если расположить камешки таким образом, что они образуют треугольники (рис. 45), количество камешков в треугольниках (1, 3, 6, 10…) составят треугольные числа. Возможно, Пифагор понимал, что эти числа являются суммой одного или более натуральных чисел, начинающихся с единицы. Обобщил ли он результат?

Возможно, нет, но он достаточно экспериментировал, чтобы увидеть, как можно вывести каждое из этих чисел из предыдущего:

Рис. 46. Квадратные числа

Он производил последовательное сложение не с помощью цифр (см. выше), а с помощью камешков. Четвертое треугольное число, треугольник, каждую сторону которого составляли четыре камешка, особенно интересовало Пифагора. Это был так называемый кватернион или тетраксис (1+ 2 + 3 + 4= 10), которому пифагорейцы приписывали чудесные свойства. Они клялись им!

Пифагор знал, что четвертое треугольное число – 10. Очень соблазнительно вывести из этого некие мистические последствия; однако невозможно сказать, какие выводы сделал он сам, а какие – поздние пифагорейцы. Развитие пифагорейской арифметики можно проследить на протяжении 1000 лет, проблески ее зрелости встречаются у Никомаха Герасского (I – 2), а также у Ямвлиха (IV – 1). В арифметической теологии последнего, «Теологумены арифметики» (каково название!), подчеркивается священный характер тетраксиса. Декада представляет Вселенную; разве у человека не 10 пальцев на руках и 10 на ногах? Рассуждения подразумевали десятеричную основу счисления; примечательно, что ни один пифагореец не помышлял о том, чтобы сделать ее явной.

Так же исследовались квадратные числа. Как перейти от одного к следующему? Например, чтобы перейти от № 3 к № 4 (рис. 46), необходимо добавить количество камешков, окружающих число № 3, по двум сторонам одного угла. Такая фигура, которая при добавлении к некоторой заданной фигуре дает фигуру, подобную этой фигуре, называется гномоном. Тем же словом, gnomon, ранее назывался астрономический инструмент, вертикальная стрелка солнечных часов. Новое математическое значение было образовано от того, что этим словом обозначали угольник для столярно-плотницких работ (лат. norma). Количество камешков в гномоне обязательно нечетное. Отсюда очевидное правило: квадрат плюс нечетное число в сумме дают другой квадрат:

n2 + (2n + 1) = (n + 1)2.

Более конкретно, возьмем последовательность нечетных чисел 1, 3, 5, 7, 9…. Первое из них представляет собой первый квадрат; добавляя к нему по одному каждое из следующих нечетных чисел, можно получить все квадратные числа:

Отсюда каждое квадратное число – сумма всех нечетных чисел, которые меньше, чем его удвоенный корень:

1 + 3 + … + (2n – 1) = n2.

Красота данного выражения равна его простоте. Какова была радость Пифагора, когда он открыл эти частицы вселенской истины! Если он действительно приобрел склонность к мистицизму в Египте и Азии, можно представить, насколько естественной была его экзальтация.

Пифагор производил вычисления с камешками, потому что у него не было наших числительных. Скорее всего, в его время буквенные обозначения числительных еще не использовались. Как бы там ни было, слова, которые греки употребляли для обозначения числительных, доказывают, что основа счисления и счеты (абак) были десятеричными. Камешек по-гречески назывался psephos. Геродот употребляет выражение psephois logizesthai, обозначавшее «подсчитывать», в предложении «греки писали и подсчитывали, двигая рукой слева направо». Глагол psephizo обозначает то же самое. Сравните наши «калькуляция» и «калькулятор», образованные от calculus, «камешек». Если Пифагор и записывал числа, то, скорее всего, использовал десятеричные знаки, сходные с египетскими, но такая запись была лишь отображением абака на письме. Однако для удобства дискуссии допустим, что буквенные символы уже были доступны.

Греческих числительных всего 27; они поделены на три группы, по 9 в каждой. Первые 9 знаков обозначают единицы от 1 до 9, вторая группа – десятки, от 10 до 90, третья группа – сотни, от 100 до 900. Числительные обозначались просто с помощью греческих букв (с диакритическим значком справа от каждой) в алфавитном порядке; но, поскольку в греческом алфавите всего 24 буквы, для обозначения цифр добавили три устаревшие буквы, по одной к каждой группе: дигамму для обозначения 6, коппу для 90 и сампи для 900. Более того, с помощью первых десяти букв (в том числе дигаммы) обозначались также тысячи, от 1000 до 10 000 (в этом случае диакритический значок ставился слева от буквы, под строкой). Грекам приходилось не только запоминать втрое больше символов, чем нам; такая сложность затемняла многие простые отношения. Нам легко запомнить, что четные числа оканчиваются на 0, 2, 4, 6, 8. А теперь представьте, каково приходилось грекам, ведь нечетное число могло оканчиваться на любой из 27 знаков (рис. 47d)!

Таблица умножения, которая во многих языках называется таблицей Пифагора (mensula Pythagorae), точно не была изобретена Пифагором. Самый ранний известный мне пример такой таблицы встречается в «Арифметике» Боэция (VI – 1), напечатанной в Аугсбурге в 1488 г. Могли быть и более ранние, в рукописях, записанных, возможно, римскими цифрами, так как индоарабские цифры едва ли попали на Запад раньше XII–XIII вв.

Рис. 47. Таблицы Пифагора. Рис. 47а – римские цифры; египетская (римская) система требует всего 5 различных знаков. Рис. 4б – греческие цифры; греческая система требует 27 различных символов; диакритические значки после каждого числительного опускались. Рис. 47в – индоарабские цифры; индийская система требует 10 различных символов; ее практическая ценность заключается в том, что она точнее приспосабливает к шрифту вычисления с помощью абака, чем египетская.

Все таблицы десятеричные, потому что никакой другой основы не применяли, за исключением (вавилонской) шестидесятеричной основы для дробей, но она появилась гораздо позже (Птолемей, II – 1), двенадцатеричной в исключительных случаях (деление дня, деление фунта) и прочих исключений в системе мер и весов и монетной системе (например, английских)

Рис. 47б

Рис. 47в

Кроме того, долгоевремя индоарабским цифрам так ожесточенно сопротивлялись, что они вошли в обиход гораздо позже.

Таблица Пифагора, записанная привычными нам цифрами, очень ясна. Сразу видно, что строки (или колонки) 2, 4, 6, 8, 10 содержат только четные числа, что в строке (или колонке) 5 каждое число оканчивается на 5