или 0 (правда, если записывать их греческим шрифтом, половина числительных оканчивается на в). Ни Пифагор, ни даже поздние пифагорейцы Античности не знали арабских цифр (или эквивалентных им). Вот почему таблица Пифагора, скорее всего, более позднее средневековое творение, возможно, ненамного старше, чем учебник Боэция.

Ранние пифагорейские представления, связанные с числами, почти наверняка были ограничены теми, которые можно проиллюстрировать с помощью не цифр, а шашек или камешков. Такой простой метод высветил факты необычайного значения. Арифметика Пифагора – корень не только всей нашей арифметики или искусства вычислений, но и всей нынешней теории чисел.

Читатели, особенно те, кто интересуется социологией науки или материалистической интерпретацией истории, могут возразить, что наш вывод не сочетается со всем, что нам известно о давней склонности греков к торговле. В конце концов, для торговли и всех видов деловых операций необходима простая арифметика в нашем смысле слова. С точки зрения продавцов и покупателей (то есть, в конечном счете, всего населения), теория чисел – роскошь. На такое возражение можно ответить, что религия, философия и гуманитарные науки – тоже роскошь с меркантильной точки зрения. Более того, арифметика (подсчеты) развивалась и активно совершенствовалась греками, только в эмпирической форме. Можно не сомневаться, что средний греческий делец умел быстро и точно считать в уме или с помощью какого-либо вида счетных досок (абака). Как бы искусно он ни считал, ему и в голову не приходило, что он занимается математическими подсчетами. С другой стороны, древние математики никогда не включали подсчеты в сферу своих интересов. Так в наши дни только люди невежественные путают математику с вычислениями или бухгалтерским делом или называют счетоводов математиками.

Геометрия

Среди геометрических достижений пифагорейской школы, которые кажутся достаточно ранними для того, чтобы можно было приписать их самому Пифагору, я бы выбрал следующие.

Рис. 48. Углы между параллельными прямыми

Рис. 49. Внутренние углы многоугольника

Сумма углов треугольника равна двум прямым углам; это можно доказать почти сразу же, если знать, что, когда линия разрезает две параллельные прямые, противоположные углы равны (рис. 48). Если прямая АА' параллельна ВС, три угла треугольника равны двум прямым углам от Л. Возможно, Пифагор распространил данное доказательство на многоугольники (рис. 49). В шестиугольнике ABCDEF проведите линии ЕА, ЕВ, ЕС. Сумма внутренних углов шестиугольника равна сумме внутренних углов четырех треугольников, или восьми прямым углам. В более общем виде, для многоугольника с количеством сторон п сумма внутренних углов равна (2п — 4) прямых углов. Сумма внешних углов (каждый из которых дополняет внутренний) равна 2n – (2n – 4) = четырем прямым углам; таким образом, результат не зависит от количества сторон.

Рис. 50. Подгонка правильных плоских многоугольников

Исходя из житейского опыта, какой можно приобрести, укладывая плитку или настилая полы, нетрудно заметить, что единственные правильные многоугольники, которыми без пробелов можно заполнить некоторое пространство, – это равносторонний треугольник, квадрат и правильный шестиугольник. Доказательство несложно, поскольку каждый угол этих правильных шестиугольников составляет соответственно 2/3, 3/3 и 4/3 прямого угла. Пространство вокруг точки в одной плоскости, равное четырем прямым углам, можно заполнить шестью треугольниками, четырьмя квадратами или тремя шестиугольниками (рис. 50).

Знал ли Пифагор теорему Пифагора, то есть знал ли он, что площадь квадрата, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей квадратов, построенных на его катетах? Почему бы и нет? Это можно понять почти интуитивно и доказать различными способами.

Для примера допустим, что у нас есть два неодинаковых квадрата (рис. 51) и меньший из них, EF2, вписан в больший, АВ2 (то есть касается четырьмя вершинами четырех сторон большего квадрата). Ясно, что четыре треугольника (EAF, FBG, GCH, HED) за пределами меньшего квадрата равны. Проведем отрезок ЕЕ’, параллельный АВ, и отрезок ЕЕ’, параллельный ВС, которые пересекаются в точке О; таким образом, мы поделили квадрат АВ2 на четыре части – два одинаковых прямоугольника и два квадрата, ЕО2 и FB2. Тогда площадь большего квадрата, АВ2, можно найти двумя способами:

АВ2 = EF2 + площадь 4 треугольников = ЕО2 + ЕВ2 + площадь 2 прямоугольников.

Но каждый из прямоугольников равен двум треугольникам, поэтому

EF2 = ЕО2 + FB2 = AF2 + АЕ2,

что и требовалось доказать.

Доказательство настолько просто, что вполне могло быть сделано ранее и независимо египтянами, вавилонянами, китайцами и индусами. Вероятность первенства египтян обсуждалась в главе II; обсуждать другие варианты не стоит, поскольку о них точно не известно. Возможно, Пифагор первым доказал теорему (а не просто понял, что так и есть) или его доказательство было более сознательным или более строгим, поскольку было сделано при помощиметода, эквивалентного методу Евклида. Говорили, что Пифагор в честь своего открытия принес в жертву быка. Впрочем, может быть, он праздновал открытие особенных треугольников (со сторонами 3n, 4n, 5n), с помощью которых удалось подтвердить геометрическое доказательство?

Рис. 51. Теорема Пифагора

Рис. 52. Пентаграмма Пифагора

Возможно, Пифагор первым начал решать геометрические задачи на нахождение равных площадей (скажем, квадрата и параллелограмма) или определял большую (hyperbole) или меньшую площадь (elleipsis) методом наложения. Впоследствии такие задачи привели к геометрическому методу решения квадратных уравнений. Как ни странно, только что приведенными греческими терминами, которые, скорее всего, появились позже Пифагора, стали называть три вида конического сечения.

Геометрические идеи и теоремы, которые так соблазнительно приписать Пифагору, невозможно было, несмотря на простоту, доказать без буквенного обозначения отрезков. В приведенных выше примерах мы воспользовались буквами, поскольку иначе нам пришлось бы очень трудно. Однако отсюда вовсе не следует, что Пифагор тоже пользовался буквами. Например, он мог доказать теорему, носящую его имя, рисуя линии на песке и указывая на линии и углы пальцами. Буквы (или другие знаки) становятся незаменимыми, только когда доказательство записывается.

По легенде, поздние отголоски которой мы находим у Лукиана (120–180), пифагорейцы пользовались пентаграммой как условным знаком при встрече с единомышленниками; она называлась у них тем же словом, что и «здоровье». Буквы слова (vyleia, hygieia) составляли пять вершин этого символа (рис. 52). Возможно, перед нами древнейший пример буквенного обозначения различных точек (или других частей) геометрической фигуры. Скорее всего, такой способ старше, чем применение букв для упрощения геометрических доказательств – а может быть, подобное применение