оказался бы на цифре «четыре», пусть сделает необходимое количество шагов, чтобы проверить, прав ли он. Если предположение будет неверным, вернитесь к предыдущему заданию и попрактикуйтесь еще немного (скажем, несколько дней), прежде чем снова вернуться к упражнению на мысленное решение задачи.

• Продолжайте выполнять эти упражнения в течение нескольких месяцев, предлагая ребенку делать между цифрами равные интервалы, таким образом подготавливая его к освоению умножения.

• Теперь ребенок, возможно, будет готов к выполнению упражнения с использованием отрицательных чисел (хотя этого может и не произойти, если он еще не сделал следующий шаг в развитии концептуального мышления). На линии с положительными цифрами отметьте отрицательные так, чтобы получилась последовательность от десяти отрицательных чисел до десяти положительных. После этого повторите первое упражнение, а затем второе (на предположение), чтобы закрепить материал.

Упражнения на развитие концептуального мышления (6-10 лет)

Характеристика данного возрастного этапа

Только после того как ребенок поймет, что, делая шаги вдоль линии от одной цифры к другой, он осваивает такие математические действия, как сложение и вычитание, можно будет считать, что он уже готов перейти к письменным действиям с числами и осознать более сложные математические концепции. Конечно, он может давать правильные ответы и без концептуального понимания, но они будут не осмысленными, а механически заученными, в то время как на концептуальном понимании строятся все дальнейшие математические знания. Говорить о том, что ребенок достиг более высокого уровня концептуального понимания, можно, когда он способен с помощью разных предметов показать, что три плюс четыре будет семь, а если убрать три предмета, то останется четыре. Кроме того, он должен быть в состоянии описать эти действия своими словами.

Упражнения (для учеников всех типов)

• Покажите ребенку, что кладете под перевернутую чашку семь пуговиц. Затем достаньте одну из них и спросите: «Как ты думаешь, сколько пуговиц там осталось?» Если он не сможет дать правильный ответ, вернитесь к упражнениям с предметами, которые находятся у него перед глазами. Через несколько недель снова попробуйте выполнить это задание. Когда ребенок сможет использовать визуализацию, чтобы высказать правильное предположение, или подсчитать и получить правильный ответ, поднимите чашку и покажите ему пуговицы, чтобы он убедился в том, что не ошибся. Если ребенок успешно и уверенно выполняет это задание, постепенно усложняйте упражнение. Не укоряйте ребенка за ошибки, если его предположения или подсчеты оказались неверными.

• Следующий уровень – развитие абстрактного мышления. Замените предметы цифрами. Для начала положите карточки с написанными на них цифрами рядом с пуговицами так, чтобы ребенок видел, например, что цифра «семь» лежит рядом с семью пуговицами, а затем накройте их чашкой. Покажите ему цифру «два» на другой карточке («два» при этом не произносите) и попросите отвернуться, а сами в это время выньте из-под чашки две пуговицы. Теперь спросите, сколько штук останется, если вы уберете такое количество пуговиц. Попросите ребенка вместо того, чтобы называть ответ, найти карточку с нужной цифрой.

• Более сложное задание – записать математическое выражение: 7–2 = 5. Предложите ребенку записать пример на вычитание и предположительный ответ после того, как отнимете несколько пуговиц, вынув их из-под чашки. Научившись составлять математические выражения на основании манипуляций с предметами, он может перейти к их письменному решению, не прибегая к помощи наглядных примеров. Но если ребенку все еще трудно это делать, снова вернитесь к упражнениям с предметами.

Раздел 11

Стратегии для преодоления трудностей при изучении математики (для детей всех возрастов)

Математика может трудно даваться детям по множеству причин. Здесь мы разберем наиболее частые проблемы, связанные с развитием мозга, процессом овладения математическим языком, кратковременной и долговременной памятью. Мы также рассмотрим ряд стратегий, ориентированных на учеников различного типа.

Задержка развития мозга

Если у вашего ребенка еще не сформировались нейронные сети, необходимые для долговременной памяти на математические действия (например, он не может запомнить таблицу умножения), это еще не означает, что он не сможет понять, скажем, концепцию деления. Чтобы справиться с этим действием, ему необходимо знать азы умножения и понимать, где ставится запятая в частном, представляющем собой десятичную дробь. Но если у ребенка перед глазами постоянно будет находиться таблица умножения, он сможет постоянно сверяться с ней. Тогда в классе он будет чувствовать себя на равных со всеми. В противном случае ребенок, у которого возникли трудности с умножением, не сможет осилить деление.

Например, нужно разделить 428 на 7. Ребенок, не запомнивший таблицу умножения, может потратить пять минут на то, чтобы подсчитать, сколько будет 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6, и таким образом выполнить действие 7 × 6 = 42. Пока он будет это делать, весь класс уже успеет приступить к третьему этапу в делении числа 428 на 7, и ваш ребенок не сможет идти с ними нога в ногу. Детям, у которых наблюдаются некоторые задержки в развитии кратковременной или долговременной памяти, следует оказать соответствующую поддержку, а именно разрешить пользоваться калькулятором или иметь перед глазами таблицу умножения. Тогда они, несмотря на трудности с запоминанием, наравне с другими смогут осваивать различные математические концепции. Калькулятор поможет сэкономить время, и ребенок успеет сосредоточиться на понимании новых концепций. А быстро решать задачи без калькулятора он сможет научиться и позже.

Когда ребенок начинает отставать от других в отношении механического запоминания основных арифметических действий, он очень расстраивается. Его мозг может даже отказаться воспринимать информацию. Если ребенок будет пытаться заучить какие-то действия, в то время как преподаватель уже перешел к объяснению новой концепции, это будет ограничивать его возможность достичь концептуального понимания новой идеи. Если ребенку трудно сосредоточиться или у него наблюдаются проблемы с памятью – особенно при условии, что он способен логически мыслить и решать задачи на концептуальном уровне, но все время ошибается в вычислениях – на помощь может прийти калькулятор. Если бы ребенок избавился от страха перед этими ошибками, то мог бы достичь большего успеха, чем другие, задействовав свои сильные стороны и находя творческие способы решения задач.

Если вы будете внимательно наблюдать за тем, как ваш ребенок изучает математику, и отмечать в своем дневнике процесс его развития, то сможете оказать неоценимую помощь учителям. В этом случае им будет легче работать с учеником, поскольку они будут знать, какой подход будет для него наилучшим. Опытные педагоги обычно используют гибкий подход к ученикам, постоянно проверяют уровень их развития и по мере достижения