Совершенно в таком же положении находимся [,возможно,] мы, когда мы мёртвые пробуждаемся [после смерти], то есть когда мы, люди, переходим к самоощущению другой жизни, к постижению высших сущностей.

Тот же испуг, та же потеря реального, то же ощущение одной сплошной нелогичности.

Чтобы реализовать новый мир, мы должны понять новую логичность.

* * *

Наша обычная логика помогает нам разбираться только в отношениях феноменального мира. Было очень много попыток определить, что такое логика? Но логика по существу неопределима, так же как математика.

Что такое математика? Наука о величинах.

Что такое логика? Наука о понятиях.

Но это не определения, а только перевод названия. Математика, или наука о величинах, есть система, изучающая количественные отношения между вещами; логика, или наука о понятиях, есть система, изучающая качественные (категорические) отношения между вещами.

Логика построена совершенно по одному плану с математикой. Как логика, так и математика (по крайней мере, общеизвестная математика «конечных» и «постоянных» чисел) выведены нами из наблюдения феноменов нашего мира. Обобщая свои наблюдения, мы постепенно нашли отношения, которые мы назвали основными законами мира.

В логике эти основные законы заключены в аксиомах Аристотеля и Бэкона:

А есть А (что было А, то и будет А);

А не есть не А (что было не А, то и будет не А);

Всякая вещь есть или А, или не А (всякая вещь должна быть А или не А).

Логика Аристотеля и Бэкона, разработанная и дополненная их многочисленными последователями, оперирует только с понятиями.

Слово, логос [(от др. — греч. λόγος)], вот предмет логики. Идея — для того, чтобы стать предметом логических рассуждений, для того, чтобы подлежать логическим законам — должна быть выражена в слове. То, что не может быть выражено в слове, не может войти в логическую систему. И при этом слово может войти в логическую систему, подлежать логическим законам, только как понятие.

Само по себе слово может иметь ещё другое значение, кроме обычно связанного с ним понятия: оно может иметь символическое или аллегорическое значение, может заключать в себе известную музыку или определённый эмоциональный тон. Но всё это войти в логическую систему не может. Какое бы символическое, аллегорическое, музыкальное или эмоциональное значение ни имело слово, в логическое построение оно войдёт только в своём логическом значении, то есть — как понятие.

В то же время мы прекрасно знаем, что не всё может быть выражено в словах. В нашей жизни и в наших чувствах очень много такого, что не укладывается в понятия. Таким образом ясно, что даже в настоящий момент, на настоящей ступени нашего развития, далеко не всё может быть для нас логическим. Есть очень много вещей внелогических по существу. Такова вся область чувств, эмоций, религии. Всё искусство — одна сплошная нелогичность. И, как мы сейчас увидим, совершенно нелогической является математика, самая точная из наук.

Если мы сравним аксиомы логики Аристотеля и Бэкона с аксиомами общеизвестной математики, то мы найдём между ними полное сходство.

Аксиомы логики

«А есть А»,

«А не есть не А»,

«Всякая вещь есть или А, или не А»

вполне соответствуют основным аксиомам математики, аксиомам тождества и противоречия:

Всякая величина равна самой себе;

Часть меньше целого;

Две величины, равные порознь третьей,

равны между собой

и т. д.

Сходство аксиом математики и логики идёт очень глубоко, и это позволяет сделать заключение об их одинаковом происхождении.

Законы математики и законы логики — это законы отражения феноменального мира в нашем сознании.

Как аксиомы логики могут оперировать только с понятиями и относятся только к понятиям, так аксиомы математики могут оперировать только с конечными и постоянными величинами и относятся только к ним.

По отношению к бесконечным и переменным величинам эти аксиомы неверны так же, как аксиомы логики неверны по отношению к эмоциям, к символам, к музыкальности и к скрытому значению слова.

Что это значит?

Это значит, что аксиомы логики и математики выведены нами из наблюдения явлений, то есть феноменального мира, и представляют собой известную условную неправильность, нужную для познания [нашего] нереального мира.

* * *

Раньше было указано, что у нас, собственно, есть две математики. Одна — математика конечных и постоянных чисел, [которая] представляет собой совершенно искусственное построение для решения задач на условных данных. Главное из этих условных данных заключается в том, что в задачах этой математики всегда берётся только t вселенной, то есть берётся только один разрез вселенной, который никогда не смешивается с другим разрезом. Таким образом, математика конечных и постоянных величин изучает искусственную вселенную, и сама по себе есть нечто, специально созданное на основании нашего наблюдения явлений и служащее для облегчения этих наблюдений. Дальше явлений математика конечных и постоянных чисел пойти не может. Она имеет дело с воображаемым миром, с воображаемыми величинами.

Другая — математика бесконечных и переменных величин, представляет собою нечто совершенно реальное, построенное на основании умозаключений о реальном мире.

Первая относится к миру феноменов, который представляет собою ничто иное, как наше неправильное восприятие мира.

Вторая относится к миру ноуменов, который представляет собою мир как он есть.

Первая — нереальна, существует только в нашем сознании, в нашем воображении.

Вторая реальна, выражает отношения реального мира.

* * *

Примером «реальной математики», нарушающей основные аксиомы нашей математики (и логики), являются так называемые трансфинитные числа.

Трансфинитными числами, как показывает их название, называются числа за бесконечностью.

Бесконечность, изображённая знаком ∞ есть математическое выражение, с которым, как с таковым, можно производить все действия: делить, множить, возводить в степень. Бесконечность можно возвести в степень бесконечности, будет ∞^∞. Эта величина в бесконечное число раз больше простой бесконечности. И в то же время они равны: ∞ = ∞^∞. Вот это и есть самое замечательное в трансфинитных числах. Вы можете производить с ними какие угодно действия, они будут соответствующим образом изменяться, оставаясь в то же время равными. Это нарушает основные законы математики, принятые для конечных, финитных, чисел. Изменившись, конечное число уже не может быть равно самому себе. А здесь мы видим, как, изменяясь, трансфинитное число остаётся равным самому себе.

При этом трансфинитные числа совершенно реальны. Выражениям ∞ и даже ∞^∞ и ∞^∞^∞ мы можем найти соответствующие примеры в реальном мире.

Возьмём линию, любой отрезок линии. Мы знаем, что число точек в