Шрифт:
Закладка:
Теорема Байеса начинается с наблюдения, что мы всегда отталкиваемся от исходного ожидания – базового уровня{166} – возможности чего-либо. В «медицинском» примере базовое ожидание заключается в том, что человек, случайным образом выбранный из населения в целом, имеет один шанс из 1 000 000 страдать вымышлитом. При отсутствии дополнительной информации можно сказать, что мои шансы заболеть вымышлитом составляют один на 1 000 000, то есть вероятность этого равна 0,000001.
Установив базовый уровень, можно провести исследование с целью получения новой информации. В данном случае исследование принимает форму сдачи анализа. Если нам посчастливилось получить на 100 % точный тест, то информация, которую он приносит, – положительный или отрицательный результат – позволяет перейти от обоснованного мнения к убежденности. Чаще всего, однако, приходится иметь дело с различными степенями неопределенности.
В первоначальном сценарии отрицательный результат обеспечивает полную уверенность. Описанный мной анализ не может быть отрицательным, если человек, сдавший его, действительно болен вымышлитом (в отличие от многих реальных тестов). Но положительный результат лишь повышает уровень нашей уверенности. Чтобы точно рассчитать это повышение, нужно взять только что полученную информацию – мой положительный результат конкретного анализа – и пересмотреть ожидания с учетом знания обо всех задействованных вероятностях. Вот что мы получим.
Теорема Байеса имеет следующую общую форму, где А есть первый фактор, интересующий нас (наличие вымышлита), а В – дополнительный фактор, влияние которого мы хотим учесть (положительный результат анализа):
Подставив числовые показатели, получим уточненную вероятность того, что, с учетом положительного результата анализа, я действительно болен вымышлитом:
Эти числа сложны для восприятия из-за большого количества разрядов. В другом примере мы можем работать со значительно более удобными показателями. Попробуйте самостоятельно заполнить пропуски.
Курс «Критическое мышление» изучает 1000 студентов, и я знаю, что 50 из них взяли экземпляр моего учебника в библиотеке. К сожалению, работая в библиотеке, я забыл в одном из учебников заметки для своей будущей книги «Подлинно критическое мышление». Я только что натолкнулся на одну из студенток, посещающих данный курс. Если у нее есть этот учебник, какова вероятность того, что в нем найдутся мои записи?
Вы должны получить следующие результаты: базовый уровень вероятности, что у любого отдельно взятого студента найдутся мои записи, составляет 0,001 (1 шанс из 1000); вероятность, что у любого отдельно взятого студента имеется мой учебник, составляет 0,05 (50 из 1000); при этом человек, у которого оказались мои записи, гарантированно имеет мой учебник. Таким образом, если у студентки, на которую я наткнулся, есть учебник, то мои записи находятся в нем с вероятностью (0,001 × 1) / 0,05 = 0,02.
Картина становится совершенно ясной, если взглянуть на нее с другой точки зрения. Поскольку нет ни единого шанса, что записи найдутся у любого из 950 человек, не взявших учебник в библиотеке, то, как только мы получаем информацию о том, что у студентки, о которой идет речь, есть учебник, можно говорить об 1 шансе из 50 (0,02), что записи находятся у нее.
Рассмотрим несколько более сложный пример – скорректируем влияние первого фактора, интересующего нас (в данном случае наличие экземпляра моего учебника), и дополнительного фактора, влияние которого мы хотим учесть (наличие моих записей).
Курс «Критическое мышление» изучает 1000 студентов, и я знаю, что 50 из них взяли экземпляр моего учебника в библиотеке. К сожалению, работая в библиотеке, я забыл 9 страниц заметок для своей будущей книги «Подлинно критическое мышление» в 9 экземплярах библиотечных учебников, а последняя страница заметок оказалась подшита к одной из распечаток, которые я раздал всем студентам, не имеющим учебника. Я только что натолкнулся на одну из студенток, посещающих курс, и она сказала, что нашла страницу моих заметок и хочет мне ее вернуть! С учетом этого, какова вероятность того, что у этой студентки есть еще и экземпляр моего учебника?
В данном случае вероятность того, что отдельно взятый студент имеет учебник, по-прежнему 0,05 (50 шансов из 1000). Вероятность того, что у случайного студента имеется страница моих заметок, теперь составляет 0,01 (10 из 1000, поскольку всего страниц 10). Вероятность того, что у любого студента с учебником есть страница заметок, равна 0,18 (9 шансов из 50, поскольку среди 50 книг находится 9 страниц). Итак, итоговая вероятность наличия у данной студентки учебника, с учетом того, что у нее нашлась страница заметок: (0,05 × 0,18) / 0,01 = 0,9, или 90 %.
Это намного больше, чем в первом примере. Почему? Потому что теперь мы корректируем наше знание в свете информации, значительно сужающей область поиска: знание того, что некто имеет страницу моих заметок, значительно повышает вероятность наличия у этого человека еще и учебника.
При необходимости проанализируйте вымышленную совокупность шаг за шагом, как я это сделал вначале.
Данный результат также можно оценить интуитивно. Всего имеется 10 страниц заметок, 9 из которых находятся в учебниках, а 1 там не находится. Таким образом, некто, обладающий страницей заметок, в 9 случаях из 10 будет иметь также и учебник. Большинство примеров применения теоремы Байеса в жизни далеко не так стройны и интуитивно понятны, но следуют той же основной схеме. Доверяйте цифрам, а не первому впечатлению и помните, что любое чрезвычайно редкое событие или состояние чревато путаницей.
Резюме
Ложное умозаключение – это выявляемая логическая ошибка общего типа. Чтобы опровергнуть ложный аргумент, необходимо обнаружить его необоснованную скрытую предпосылку. При необходимости используйте метод сопоставимых примеров – это поможет одновременно доказать, что аргумент является ложным, и убедительно продемонстрировать ошибку.
Ложные аргументы не могут гарантировать истинность своих выводов, но отличаются от аргументов с ложными предпосылками:
• аргумент необязательно ложен, если опирается на ложную предпосылку или имеет ложный вывод;
• ложный аргумент может иметь верные предпосылки;
• ложный аргумент может иметь верный вывод.
Ложные умозаключения бывают двух основных типов.
1) Неформальные логические ошибки – ошибочные или дефектные формы рассуждения, связанные с содержанием предпосылок, которые должны оцениваться с учетом
