Эта логическая ошибка, малопонятная в абстрактном виде, чудовищно распространена в повседневном мышлении. Например, в СМИ то и дело встречаются аргументы такого рода:

Все потенциальные террористы, представляющие смертельную опасность для нашего народа, являются уроженцами таких-то стран. Вы родились в одной из этих стран. Значит, вы потенциальный террорист и смертельно опасны для нашего народа.

Попасться в эту логическую ловушку чрезвычайно легко.

Это невалидный аргумент, опирающийся на безосновательное добавочное предположение «все уроженцы названных стран являются потенциальными террористами» (в иной формулировке, «из этих стран выходят только потенциальные террористы»). Нераспределенное среднее – «все люди, происходящие из любой из названных стран», по умолчанию ошибочно приравнивается к одной из подгрупп общей группы.

Формальная ошибка: игнорирование базового уровня

Познакомьтесь с другим примером ошибочного в формальном отношении рассуждения, типичного не только для СМИ и политики, но и для представителей научной среды, от которых ждешь лучшего владения логическим мышлением. Вместо принятия необходимого условия за достаточное это заблуждение демонстрирует смешение вероятности и статистических данных.

Большинство сторонников экстремистской идеологии – злые люди. Среди людей неэкстремистских взглядов злобных немного. Эта женщина злая. Скорее всего, она стоит на экстремистских позициях.

Проблема в том, что сначала нужно изучить относительную распространенность каждой категории, иначе невозможна значимая оценка вероятности. Например, если 99,99 % населения не поддерживают экстремизм, тогда – даже если каждый отдельно взятый экстремист злобен – неэкстремистов, отличающихся злобностью, почти наверняка окажется больше.

Эта ошибка называется игнорированием базового уровня{161}, поскольку не учитывает пропорциональное соотношение обсуждаемых явлений. В повседневной жизни она чаще всего наблюдается в форме стереотипного неприятия национальных меньшинств: «Мой дом ограбили. Наверняка это дело рук кого-то из иммигрантов – почти все они преступники». Нередко такого рода выводы опровергаются статистикой, поскольку – независимо от уровня криминализованности немногочисленной этнической группы – общее число преступников, не принадлежащих к этой группе, намного больше.

Эта ошибка наблюдается в сферах финансов и бизнеса, когда сосредоточение на цели получения большой прибыли путем продажи дорогих, но редко приобретаемых товаров приводит к пренебрежению более важным показателем совокупных продаж.

Вопрос. Я получаю $200 с продажи каждого холодильника и всего $5 – с картриджа для принтера. Мне нужно сосредоточиться на продажах холодильников, верно?

Правильный ответ. Нет, поскольку ты продаешь только два холодильника в неделю, но мог бы продавать по 100 картриджей ежедневно.

В общем виде эта логическая ошибка выглядит следующим образом:

Большинство А являются С; немногие В являются С; Х – С; вероятно, Х есть также А.

ИНФОРМАЦИЯ К РАЗМЫШЛЕНИЮ. Почему, на ваш взгляд, так легко игнорировать базовый уровень, размышляя о явлении с участием больших и малых групп? Как бы вы объяснили эту проблему другому человеку?

От игнорирования базового уровня к теореме Байеса

Для успешного обучения и научной работы особенно важно уметь распознавать одну из разновидностей ошибки игнорирования базового уровня, которая может возникнуть при анализе редких или маловероятных событий.

Прочтите следующий абзац, посвященный сдаче анализа на редкое (вымышленное) заболевание – назовем его вымышлит. С учетом имеющейся информации, каковы шансы, что я страдаю вымышлитом?

Я прохожу обследование по поводу вымышлита, заболевания, поражающего одного человека из миллиона. У меня отсутствуют симптомы, но я читал об этом недуге в интернете и хочу убедиться, что со мной все в порядке. Врач говорит, что если вымышлит имеется, то анализ всегда безошибочно выявляет его. Если человек здоров, то анализ точен на 99,9 %. Прекрасно! Я сдаю анализ и через пять минут получаю результат. Он положительный. Анализ показал, что у меня вымышлит. Ну почему мне так не везет!

ВНИМАНИЕ! Это очень важно.

Интуиция подсказывает, что мне впору перепугаться. В данном случае наиболее распространенной реакцией, даже со стороны некоторых специалистов, будет оценить вероятность наличия у меня вымышлита в 99,9 %. Это ошибочное суждение, не учитывающее крайне низкую базовую распространенность недуга и эффект данного показателя в сочетании с точностью анализа. Фактически я с вероятностью около 99,9 % не болен вымышлитом. Как же так?

Чтобы ответить на этот вопрос, попробуем разобраться, что произойдет, если проверить на вымышлит миллион человек. Мы знаем, что это заболевание в действительности встречается лишь у одного из миллиона, а также что анализ с гарантией выявит больного. Данный анализ по определению не может быть ложноотрицательным{162}. Итак, мы имеем один гарантированный положительный результат из миллиона. Но это лишь начало логической цепочки.

Мы также знаем, что остальные 999 999 человек не больны и что для них анализ на 99,9 % верен. Это означает, что он даст отрицательный результат у 999 человек из каждой 1000, но 1 на 1000, ошибочный, окажется ложноположительным{163}. Таким образом, протестировав 999 999 человек, мы получим еще 1000 положительных результатов – все ошибочные.

В общей сложности мы получим 1 + 1000 = 1001 положительный результат на 1 000 000. Нам известно, что только один из них принадлежит человеку действительно больному вымышлитом, но не известно, кто он, иначе не потребовалось бы делать анализы. Отличить один истинно положительный результат{164} от 1000 ложноположительных невозможно.

В общем, приходится заключить, что мой положительный результат, имеющий 1000 шансов из 1001, скорее всего, является ложноположительным: я почти на 99,9 % могу быть уверен, что не болен вымышлитом.

Вы все еще удивлены? Статистические выкладки становятся более наглядными на примере, позволяющем интуитивно оценить вероятность события.

Я писатель. Каковы шансы того, что я продал больше 10 млн книг?

Очевидно, это крайне маловероятно. Притом что лишь один из нескольких тысяч человек является профессиональным писателем, произведения лишь очень немногих из них настолько хорошо продаются (замечу, что сам я к таковым не отношусь). Вам же не придет в голову, что достаточно быть писателем, чтобы гарантированно продавать книги миллионами! Намного вероятнее, что я обычный скромный литератор.

Данный пример не имеет принципиальных отличий от примера медицинской тематики. Также наблюдается ничтожное меньшинство «положительных результатов» – миллионных продаж; правда, в данном случае люди не страдают, а, напротив, наслаждаются своей редкой «патологией». Вероятность того, что я одновременно являюсь писателем и имею на счету 10 млн проданных книг, намного ниже вероятности того, что я просто писатель. Если вы узнали, что я занимаюсь литературным трудом, то можете с огромной долей уверенности предположить, что я отношусь к категории «не продавших 10 млн книг».