yi = y0 + ati + bti2, (3.1)

где у0 — уровень ряда в начальный (нулевой) период;

а — средний абсолютный прирост (по всему ряду);

Ь — половина ускорения;

ti - номера периодов.

По данным табл. 3.1 имеем:

yi = 100 + 10∙ti + 2∙ti2

Показатель ускорения абсолютного изменения уровней выражается в единицах измерения уровня, деленных на квадрат длины периода. В нашем случае ускорение составило 4 тыс. т в год за год, или 4 тыс. т∙год2. Смысл показателя следующий: объем производства (или добыча угля, руды) имел абсолютный прирост, возрастающий на 4 тыс. т. в год ежегодно.

Усвоить рассмотренные показатели поможет следующая аналогия с механическим движением: уровень — это аналог пройденного пути, причем начало его отсчета не в нулевой точке; абсолютный прирост — аналог скорости движения тела, а ускорение абсолютного прироста — аналог ускорения движения. Пройденный телом путь, считая и тот, который уже был пройден до начала отсчета времени в данной задаче, равен:

S = S0 + V0t + (at2/2)

где S0 — путь, пройденный до начала отсчета времени;

V0 — начальная скорость;

а — ускорение;

t — время, прошедшее от начала его отсчета в задаче.

Сравнивая с формулой (3.1), видим, что S0 — аналог свободного члена y0, V0 — аналог начального абсолютного изменения а; а/2 — аналог ускорения прироста Ь.

Система показателей должна содержать не только абсолютные, но и относительные статистические показатели. Относительные показатели динамики необходимы для сравнения развития разных объектов, особенно если их абсолютные характеристики различны. Предположим, другое предприятие увеличивало производство аналогичной продукции с тенденцией, выраженной уравнением тренда:

yi = 20 + 4t + 0,5t2

И абсолютный прирост, и ускорение роста объема продукции во втором предприятии гораздо меньше, чем в первом. Но можно ли ограничиться этими показателями и сделать вывод, что развитие второго предприятия происходит более медленными темпами, чем первого? Меньший уровень еще не есть меньший темп развития, и это покажет относительная характеристика тенденции динамики — темп роста.

Темп роста — это отношение сравниваемого уровня (более позднего) к уровню, принятому за базу сравнения (более раннему). Темп роста исчисляется в цепном варианте — к уровню предыдущего года, а в базисном — к одному и тому же, обычно начальному уровню, что иллюстрируется формулой (3.2). Он свидетельствует о том, сколько процентов составляет сравниваемый уровень по отношению к уровню, принятому за базу, или во сколько раз сравниваемый уровень больше уровня, принятого за базу. При этом если уровни снижаются со временем, то сказать, что последующий уровень «больше в 0,33 раза», или составляет 33,3 % базового уровня, это, разумеется, означает, что уровень уменьшился в 3 раза. Но будет неверно, если сказать, что «уровень меньше в 0,33 раза». Темп изменения в разах всегда говорит о том, во сколько раз сравниваемый уровень больше.

Теперь можно утверждать, что относительная характеристика роста объема продукции на первом предприятии в среднем за год близка к 115 % (рост составляет приблизительно 15 % в год), и за шесть лет объем продукции увеличился в 2,32 раза, а на втором предприятии, вычислив также шесть уровней параболического тренда, читатель убедится, что в среднем за год объем продукции возрастал примерно на 20 %, а за шесть лет он возрос в 3,1 раза. Следовательно, в относительном выражении объем продукции на втором предприятии развивался, возрастал быстрее. Только в сочетании абсолютных и относительных характеристик динамики можно правильно отразить процесс развития совокупности (объекта).

Рассмотрим связь абсолютных и относительных показателей динамики. Обозначим темп изменения через к, тогда имеем:

цепной темп роста в период с номером n

kn = yn/yn-1

базисный темп роста за весь период между базой (0) и текущим годом (n).

kn/0 = yn/y0

(3.2)

Если сравниваемый уровень выразить через уровень базисного (или предыдущего) периода и абсолютное изменение, получим:

kn = (yn-1 + Δ)/yn-1 = 1 + Δ/yn-1, или 100 % + (Δ100/yn-1) (3.3)

Величина Δ/yn-1, т. е. отношение абсолютного изменения к уровню предыдущего (или базисного) года, называется относительным приростом (относительным сокращением, относительным изменением, процентным изменением) или темпом прироста. Он равен темпу изменения (роста) минус единица (минус 100 %).

Темп изменения — величина всегда положительная. Если уровень ряда динамики принимает положительные и отрицательные значения, например, финансовый результат от реализации продукции предприятием может быть прибылью (+), а может быть убытком (-), тогда темп изменения и темп прироста применять нельзя. В этом случае такие показатели теряют смысл и не имеют экономической интерпретации. Сохраняют смысл только абсолютные показатели динамики.

Рассмотрим соотношения между цепными и базисными показателями на примере данных табл. 3.1:

1) сумма цепных абсолютных изменений равна базисному абсолютному изменению

Σai(цепн) = ai(баз)

12 + 16 + 20 + 24 + 28 + 32 = 232–100 = 132;

2) произведение цепных темпов изменения равно базисному темпу изменения

1,12 x 1,143 x 1,156 x 1,162 x 1,163 x 1,16 = 2,32.

Неверно, будто сумма цепных темпов прироста равна базисному темпу прироста, %:

12 + 14,3 + 15,6 + 16,2 + 16,3 + 16 не = 132.

Значения цепных темпов прироста, рассчитанных каждый к своей базе, различаются не только числом процентов, но и величиной абсолютного изменения, составляющей каждый процент. Следовательно, складывать или вычитать цепные темпы прироста нельзя. Абсолютное значение однопроцентного прироста равно сотой части предыдущего уровня или базисного уровня.

3.2. Особенности показателей для рядов, состоящих из относительных уровней

Уровнями динамического ряда могут быть не только абсолютные показатели — численность совокупностей или объемы их признаков. Ряды динамики могут отражать развитие структуры совокупности, изменение со временем вариации признака в совокупности, взаимосвязи между признаками, соотношения значений признака для разных объектов. В этих случаях уровни динамического ряда сами являются относительными показателями и нередко выражаются в процентах. Следовательно, абсолютные изменения (и ускорения) тоже оказываются относительными величинами и могут быть выражены в процентах. В процентах, разумеется, будут выражены темпы изменения и относительные приросты. Все это создает нередко путаницу в интерпретации и использовании показателей динамики в печати и даже в специальной экономической литературе.

Рассмотрим пример. В США с конца XIX в. для группы ведущих акционерных компаний исчисляется так называемый индекс Доу Джонса — арифметическая средняя величина котировок акций на фондовых биржах. Этот показатель характеризует хозяйственную конъюнктуру: если индекс Доу Джонса повышается,