Основные свойства тренда в форме прямой линии таковы:

• равные изменения за равные промежутки времени;

• если средний абсолютный прирост — положительная величина, то относительные приросты или темпы прироста постепенно уменьшаются;

• если среднее абсолютное изменение — отрицательная величина, то относительные изменения или темпы сокращения постепенно увеличиваются по абсолютной величине снижения к предыдущему уровню;

• если тенденция к сокращению уровней, а изучаемая величина является по определению положительной, то среднее изменение Ь не может быть больше среднего уровня а;

• при линейном тренде ускорение, т. е. разность абсолютных изменений за последовательные периоды, равно нулю.

Свойства линейного тренда иллюстрирует табл. 4.1. Уравнение тренда:

y^i = 100 + 20*ti

Показатели динамики при наличии тенденции сокращения уровней приведены в табл. 4.2.

4.2. Параболический тренд и его свойства

Под названием параболического будем иметь в виду тренд, выраженный параболой II порядка с уравнением

y^i = a + b*t + c*t2.

Параболы III порядка и более высоких порядков редко применимы для выражения тенденции динамики и слишком сложны для получения надежных оценок параметров при ограниченной длине временного ряда. Прямую линию, с точки зрения математики, можно также считать одним из видов парабол — параболой I порядка, которая уже рассмотрена ранее.

Значения (смысл, сущность) параметров параболы II порядка таковы: свободный член а — это средний (выровненный) уровень тренда на момент или период, принятый за начало отсчета времени, т. е. t = 0; Ь — это средний за весь период среднегодовой прирост, который уже не является константой, а изменяется равномерно со средним ускорением, равным 2 с, которое и служит константой, главным параметром параболы II порядка.

Следовательно, тренд в форме параболы II порядка применяется для отображения таких тенденций динамики, которым свойственно примерно постоянное ускорение абсолютных изменений уровней. Процессы такого рода встречаются на практике гораздо реже, чем процессы с равномерным изменением, но, с другой стороны, любое отклонение процесса от строго равномерного прироста (или сокращения) уровней можно интерпретировать как наличие ускорения. Более того, существует строгое математическое правило: чем выше порядок параболы, тем ближе линия тренда к уровням исходного временного ряда. Если это правило довести до крайнего предела, то любой ряд из n уровней может быть точно отображен параболой (n — 1) — го порядка! (Через любые две точки проходит одна прямая, через три точки — одна парабола II порядка и т. д.) Такое «приближение» линии тренда к эмпирическому ряду, содержащему как тенденцию, так и колебания, нельзя считать достижением научного анализа. Напротив, применяя параболу более высокого порядка там, где сущность процесса этого не требует, а только ради уменьшения остаточной суммы отклонений (или их квадратов) отдельных уровней от тренда, исследователь уходит от цели, смешивая тренд с колебаниями.

Парабола II порядка, как уравнение тренда, применяется к различным процессам, которые на некотором, как правило непродолжительном, этапе развития имеют примерно постоянное ускорение абсолютного прироста уровней. Такими бывают рост населения отдельных городов или регионов, ускоренное увеличение объема продукции в фазе циклического подъема, как, например, динамика экспорта Японии в 1988–1995 гг. на рис. 4.2.

Рис. 4.2. Динамика экспорта Японии

Расчет уравнения этой параболы приведен в гл. 5. Основные свойства тренда в форме параболы II порядка таковы:

1) неравные, но равномерно возрастающие или равномерно убывающие абсолютные изменения за равные промежутки времени;

2) парабола, рассматриваемая относительно ее математической формы, имеет две ветви: восходящую с увеличением уровней признака и нисходящую с их уменьшением. Но относительно статистики по содержанию изучаемого процесса изменений трендом, выражающим определенную тенденцию развития, чаще всего можно считать только одну из ветвей: либо восходящую, либо нисходящую. В особых, более конкретных, ситуациях мы не отрицаем возможности объединения обеих ветвей в единый тренд;

3) так как свободный член уравнения а как значение показателя в начальный момент (период) отсчета времени, как правило, величина положительная, то характер тренда определяется знаками параметров Ь и с:

a) при Ь > 0 и с > 0 имеем восходящую ветвь, т. е. тенденцию к ускоренному росту уровней;

b) при Ь < 0 и с < 0 имеем нисходящую ветвь — тенденцию к ускоренному сокращению уровней;

c) при Ь > 0 и с < 0 имеем либо восходящую ветвь с замедляющимся ростом уровней, либо обе ветви параболы, восходящую и нисходящую, если их по существу можно считать единым процессом;

d) при Ь < 0 и с > 0 имеем либо нисходящую ветвь с замедляющимся сокращением уровней, либо обе ветви — нисходящую и восходящую, если их можно считать единой тенденцией;

4) при параболической форме тренда, в зависимости от соотношений между его параметрами, цепные темпы изменений могут либо уменьшаться, либо некоторое время возрастать, но при достаточно длительном периоде рано или поздно темпы роста обязательно начинают уменьшаться, а темпы сокращения уровней при Ь < 0 и с < 0 обязательно начинают возрастать (по абсолютной величине относительного изменения).

Ввиду ограниченного объема учебника рассмотрим не все четыре случая параболических трендов, а лишь два первых (табл. 4.3 и 4.4).

В тех случаях, когда по существу изучаемого процесса допустимо считать единым трендом обе ветви параболы, представляет большой интерес решение задачи о нахождении того периода или момента времени, когда уровень тренда достигает максимума (когда Ь > 0, с < 0) или минимума (если Ь < 0, с > 0). Экстремальная точка параболы y^ = a + bt + ct2 достигается при нулевом значении первой производной:

df/dt = (a + bt + ct2) = b + 2ct.

Из равенства b + 2ct = 0 имеем: t = — b/2c.

Например, если y^ = 100 + 20t — 2t2, то максимум парабола имеет при t = -20/2(-2) = 5.

Максимальное значение уровня тренда при t = 5 составит:

y^max = 100 + 20∙5–2∙52 = 150.

Если имеем параболу при Ь < 0, а с > 0, например:

y^i = 200 — 20t + 2t2, то минимальное значение тренда достигается при t = b/2c = 20/2∙2 = 5, и это минимальное значение составит:

y^min = 200 — 20∙5 + 2∙52 = 150.

4.3. Экспоненциальный тренд и его свойства

Экспоненциальным трендом называют тренд, выраженный уравнением:

y^i = a∙kIi или в форме: y^i = exp [ln а + In k∙ti