Примером тенденций, соответствующих логарифмическому тренду, может служить динамика рекордных достижений в спорте: известно, что увеличение на 1 см рекорда прыжка в высоту или снижение на 0,1 с времени бега на 200 или 400 м требует все больших и больших затрат времени, каждый рекорд дается все большим и большим трудом. В то же время нет и «вечных» рекордов, все спортивные достижения улучшаются, но медленнее и медленнее, т. е. по логарифмическому тренду. Нередко такой же характер динамики присущ на отдельных этапах развития динамике урожайности или валового сбора какой-то культуры в данном регионе, пока новое агротехническое достижение не придаст снова тенденции ускорения, что иллюстрирует рис. 4.5.

Рис. 4.5. Динамика валового сбора чая в Китае

Конечно, характер тенденции маскируется колебаниями, но видно, что рост валового сбора замедляется. Это показывают и средние уровни сбора чая:

За 1978–1983 гг. средний сбор равен 333 тыс. т;

За 1984–1989 гг. средний сбор равен 483 тыс. т, рост на 150 тыс. т;

За 1990–1994 гг. средний сбор равен 566 тыс. т, рост на 83 тыс.т.

На рис. 4.5 для убедительности нанесен и логарифмический тренд, расчет которого дан в гл. 5. Заметны также 5-6-летние циклические колебания валового сбора чая.

Основные свойства логарифмического тренда:

1. Если Ь > 0, то уровни возрастают, но с замедлением, а если Ь<0, то уровни тренда уменьшаются, тоже с замедлением.

2. Абсолютные изменения уровней по модулю всегда уменьшаются со временем.

3. Ускорения абсолютных изменений имеют знак, противоположный самим абсолютным изменениям, а по модулю постепенно уменьшаются.

4. Темпы изменения (цепные) постепенно приближаются к 100 % при t —> оо.

Можно сделать общий вывод о том, что логарифмический тренд отражает, так же как и гиперболический тренд, постепенно затухающий процесс изменений. Различие состоит в том, что затухание по гиперболе происходит быстро при приближении к конечному пределу, а при логарифмическом тренде затухающий процесс продолжается без ограничения гораздо медленнее.

4.6. Логистический тренд и его свойства

Логистическая форма тренда подходит для описания такого процесса, при котором изучаемый показатель проходит полный цикл развития, начиная, как правило, от нулевого уровня, сначала медленно, но с ускорением возрастая, затем ускорение становится нулевым в середине цикла, т. е. рост происходит по линейному тренду, затем, в завершающей части цикла, рост замедляется по гиперболе по мере приближения к предельному значению показателя.

Примером такого цикла динамики может служить изменение доли грамотного населения в стране, например в России, с 1800 г. до наших дней, или изменение доли семей, имеющих телевизоры, примерно с 1945 до 2000 г. в России, доли жилищ в городах, имеющих горячее водоснабжение или центральное отопление (процесс, еще не законченный). В некоторых зарубежных программах для компьютеров логистическая кривая называется S-образной кривой.

Можно, конечно, логистическую тенденцию считать объединением трех разных по типу тенденций: параболической с ускоряющимся ростом на первом этапе, линейной — на втором и гиперболической с замедляющимся ростом — на третьем этапе. Но есть доводы и в пользу рассмотрения всего цикла развития как особого единого типа тенденции со сложными, переменными свойствами, но постоянным направлением изменений в сторону увеличения уровней в рассмотренных нами примерах или уменьшения уровней, если взять противоположный процесс — сокращение доли неграмотных среди населения, доли жилищ, не оборудованных газоснабжением или центральным отоплением, и т. д.

Рассмотрение таких временных рядов, как проявление единой логистической тенденции, позволяет уже на первом этапе рассчитать всю траекторию развития, определить сроки перехода от ускоренного роста к замедленному, что чрезвычайно важно при планировании производства или реализации нового вида товара, спрос на который будет проходить все этапы логистической тенденции вплоть до насыщения рынка. Так, например, обеспеченность населения в России автомобилями в конце 1980-х годов находилась на начальном этапе логистической кривой, и это означало, что предстоит еще ряд лет или даже десятилетий ускоренного роста спроса. В то же время обеспеченность фотоаппаратами уже достигла этапа замедления роста, и это означало, что расширять производство или импорт прежних типов фотоаппаратов не следует. Расширение их рынка возможно было только для принципиально новых типов фотоаппаратов, насыщенность которыми еще находится в самом начале первого этапа.

В вышеописанном диапазоне изменения уровней, т. е. от нуля до единицы, уравнение логистического тренда имеет вид:

При a0 > 0, a a1 < 0 с ростом номеров периодов времени ti получаем логистическую тенденцию роста уровней, причем если нужно начать рост почти от нулевой величины, то а0 должно быть примерно равно 10, тогда при t = 1 1/e9 + = 0,000123. Чем больше модуль a1, тем быстрее будут возрастать уровни. При a0 < 0 и a1 > 0 имеем логистический тренд со снижением уровней, причем, если снижение должно начаться почти от единицы, то а0 должно быть примерно равно -10. Чем больше а1, тем быстрее будут снижаться уровни, например, при а0 = -10; a1 = 1, уже при ti = 20 уровни снизятся почти до нуля.

Если же диапазон изменения уровней ограничен не нулем и единицей, а любыми значениями, определяемыми исходя из существа задачи, обозначаемыми

ymax ymin,

то формула логистического тренда принимает вид:

Как видно из табл. 4.8, абсолютные изменения нарастают до середины периода, затем уменьшаются. Все они положительны. Ускорения сначала возрастают, а после середины периода снижаются, становятся отрицательными, но уменьшаются по модулю. Сумма положительных и отрицательных ускорений приближенно равна нулю (если ряд продлить от — оо до + оо, то сумма их точно равна нулю). Темпы роста возрастают до конца первой половины ряда, затем снижаются. Если ряд достаточно длинный, то темпы начинаются со 100 % и завершаются на 100 %.

При логистическом тренде со снижающимися уровнями показатели динамики изменяются в следующем порядке: отрицательные абсолютные изменения по модулю возрастают до середины ряда и снижаются к концу, стремясь к нулю при t —> со. Ускорения в первой половине периода отрицательные и по модулю возрастающие; во второй половине периода ускорения положительные и уменьшающиеся в пределе до нуля. Темпы изменений все меньше 100 %, в конце первой половины периода наименьшие, во второй половине возрастающие с замедлением до 100 % в пределе. Графическое изображение логистического тренда приведено на рис. 5.2.

Глава 5. МЕТОДЫ РАСПОЗНАВАНИЯ ТИПА ТРЕНДА И ОЦЕНКИ ЕГО ПАРАМЕТРОВ

При изучении методов распознавания типа тренда не следует забывать