b∙[ln (x + 11,5) — ln (x + 6)] = 83,3 (5.22)

Делим второй результат на первый:

[ln (х+11,5) — ln (х + 6)]/[ln (х + 6) — ln x] = 83,3/151 = 0,5517.

Это число говорит о степени замедления роста средних уровней между подпериодами ряда. Теперь необходимо подобрать такое значение х, при котором получаем наибольшее приближение к рассчитанному показателю замедления роста уровней.

При х = 2 получим:

[ln (2 + 11,5) — ln (3 + 6)]/[ln (2 + 6) — ln 2] = 0,5323/1,3863 = 0,384.

что слишком мало.

Увеличим х до 6:

[ln (6 + 11,5) — ln (6 + 6)]/[ln (6 + 6) — ln 6] = 0,3773/0,6931 = 0,5922.

все еще ниже наблюдаемой величины. Примем х = 8:

[ln (8 + 11,5) — ln (8 + 6)]/[ln (8 + 6) — ln 8] =0,3314/0,5596 = 0,5922

что уже больше наблюдаемого значения.

При х = 7 имеем:

[ln (7 + 11,5) — ln (7 + 6)]/[ln (7 + 6) — ln 7] = 0,3528/0,6190 = 0,5699 -

немного больше необходимого.

Примем х = 6,5:

[ln (6,5 + 11,5) — ln (5,5 + 6)]/[ln (6,5 + 6) — ln 6,5] = 0,3646/0,6539 = 0,5576.

Можно, принимая дробные значения х, подойти еще ближе к фактическому значению, однако вряд ли целесообразно применять мелкодробные номера периодов времени, да и сам процесс усреднения уровней по подпериодам ряда включает субъективные моменты, поэтому лучше ограничиться приближением х ~ 6,5 лет, следовательно, середина между 1980 и 1981 гг. — это номер 6,5 от начала отсчета номеров лет, тогда 1978 г. — это номер t = 4. Исходя из этого нумеруем все года в табл. 5.7, начиная с t = 4 до t = 20.

Зная величину х = 6,5, подставляем ее в уравнения (5.21) и (5.22), чтобы вычислить по ним величину параметра Ь. Из (5.21):

b∙(ln 12,5 — In 6,5) =151,

откуда Ь = 230,9.

Из уравнения (5.22):

b∙(ln 18 — In 12,5) =83,3,

откуда Ь = 228,4.

Принимаем среднее из двух независимых оценок параметра Ь, равное 229,6. Теперь, подставляя значения х и Ь в уравнения (5.18), (5.19) и (5.20), по лучим три независимые оценки параметра а:

из (5.18): а + 229,6∙ln 6,5 = 331,7; откуда а = -98,1;

из (5.19): а + 229,6∙In 12,5 = 482,7; откуда а = -97,2;

из (5.20): а + 229,6∙In 18 = 566; откуда а = -97,6.

Средняя оценка параметра а равна (-97,6). Итак, уравнение логарифмического тренда имеет вид:

у^i = -97,6 + 229,6∙ln t,

где t = 0 в 1974 г.

По этому уравнению рассчитаны уровни тренда у^i в табл. 5.7. Хотя суммы уровней немного разошлись, кривая, как видно на рис. 4.5, хорошо отражает тенденцию.

5.4.3. Логистическое уравнение тренда

Уравнение имеет наиболее общий вид:

При расчете этого уравнения логарифмируют величину, производную от уровней ряда, но не номера периодов (моментов) времени, эту нумерацию поэтому рациональнее проводить от середины ряда. Особенностью логистического тренда является этап обоснования значений максимального и минимального уровней временного ряда. Это обоснование осуществляется на основе, во-первых, уровней фактического ряда, во-вторых, теоретических, т. е. внешних по отношению к статистике, соображений. относящихся к содержанию изучаемого процесса.

Уравнение логистического тренда, в общем виде, непосредственно логарифмировать невозможно. Преобразуем его в форму

и обозначим его левую часть, т. е.

Условие метода наименьших квадратов:

подставляя значение In

После вычисления частных производных по а0 и по a1, получаем нормальные уравнения МНК для логистической кривой, аналогичные таковым для прямой линии, так как заменой на ζ, фактически проведена линеаризация функции логистической кривой:

При переносе начала отсчета периодов (моментов) времени в середину ряда система упрощается до двух уравнений с одним неизвестным в каждом из них:

Итак, алгоритм расчета логистической кривой состоит из десяти этапов:

1) обоснование величин уmах, уmin

2) вычисление по фактическому временному ряду значений

3) вычисление ln ζi;

4) нумерация периодов или моментов времени от середины ряда;

5) умножение ln ζi на ti;

6) подсчет итоговых сумм

7) вычисление

8) вычисление

9) вычисление для всех периодов

а0 и а1

ln ζi = а1 + aiti;

ζi = exp (а1 + aiti)

10) вычисление уровней тренда

Проведем расчет логистического тренда по данным рис. 5.2.

Рис. 5.2. Логистическая тенденция динамики доли тепловозной и электровозной тяги в грузообороте железных дорог СССР

Период охватывает почти весь процесс замены паровозов тепловозами и электровозами. Наиболее быстро этот процесс происходил с 1960 по 1964 г.

Исходя из границ периода времени и фактических уровней ряда получаем:

y^min = 10 %; y^max = 100 %;

a0 = -0,228/14 = — 0,016286; a1 = -99,325/227,5 = -0,436593

ζi = exp [-0,016286 + ti(-0,436593)]

Уравнение логистического тренда доли прогрессивных видов тяги в грузообороте железных дорог за 1955–1968 гг. имеет вид:

Табл. 5.8 показывает достаточно близкое приближение логистической кривой, судя по тому, что сумма уровней тренда различается от суммы фактических уровней менее чем на 1 %. Напомним, что, в отличие от прямой и параболы, алгоритм расчета других кривых не предусматривает автоматического равенства сумм выравненных и фактических уровней, они совпадают только при идеальном выражении тенденции ряда данным уравнением тренда.

5.5. Многократное скользящее выравнивание

Как видно из табл. 5.3–5.5, при расчете параметров тренда разные уровни имеют неодинаковые веса, так как умножаются на разные величины ti.

Наибольшие веса имеют уровни, стоящие в начале и конце временного ряда, что особенно явно видно при нумерации лет от середины ряда. То же самое происходит и при нумерации периодов (моментов) от начала ряда, так как можно легко доказать, что в этом случае в расчет входят не сами номера лет ti, а их отклонения от среднего номера,