Шрифт:
Закладка:
Рис. 14.1. Чернильное пятно, напоминающее пятна из теста Роршаха
Билатеральная симметрия лишь одна из куда более обширной группы симметрий, лежащих в основе целых областей математики. Вся концепция симметрии вытекает из одной простой идеи – любым способом изменить объект так, чтобы в результате процесса он не претерпел явных изменений. В математическом смысле симметрия – это преобразование. В случае билатеральной симметрии преобразование происходит посредством зеркального отображения. Посмотрите на пятна Роршаха в зеркале – и они будут выглядеть так же. Изменение без изменения – вот признак симметрии. Единственное преобразование, при котором чернильные пятна будут выглядеть неизменными – зеркальное отображение, но другими геометрическими объектами можно манипулировать иначе, и все же их облик останется неизменным. Например, квадрат. Поверните его на 90 градусов по центру – и он будет выглядеть точно так же, потому что ему свойственна вращательная, или поворотная, симметрия. Другими словами, у него четыре оси симметрии, потому что его можно повернуть на 90, 180, 270 и 360 градусов, и он при этом не изменится. Однако у квадрата есть и другие типы симметрии, потому что он может отразиться зеркально, либо по диагоналям, либо по горизонтали и вертикали, проходящим через его середину, и при этом не измениться. Операции отражения и вращения применимы к одному объекту. Если объектов множество, то существует еще два преобразования, оставляющих их облик неизменным: трансляционная симметрия и симметрия скользящего отражения. На рис. 14.2 показана трансляционная симметрия. Сдвиньте картинку на длину одного листа, и она в точности наложится на изображение, при этом внешне ничего не изменится. Симметрию скользящего отражения можно сравнить с цепочкой следов на песке или снегу (рис. 14.3). Берем один отпечаток, отражаем его зеркально, сдвигаем на шаг и кладем – и так далее, шаг за шагом. Операции отражения, вращения, трансляции и скольжения – вот строительные блоки всех симметрий, и на более глубоком уровне каждую из них можно рассматривать как вариант операции отражения, поскольку операции вращения, трансляции и скольжения можно построить с помощью нескольких отдельных операций отражения[527].
Рис. 14.2. Трансляционная симметрия на примере резного деревянного бордюра из Норвегии
Рис. 14.3. Цепочка следов как пример симметрии зеркального отражения
Особенно много вариантов симметрий обнаруживается в узорах, покрывающих поверхности. На рис. 14.4 представлены разнообразные мозаичные полы Древнего Рима, а на рис. 14.5 – Заира, со сложным центральным узором с симметрией скользящего отражения, а также несколько четких бордюрных узоров. На протяжении всей своей истории люди покрывали узорами самые обычные предметы – достаточно посмотреть на обои, ковры, портьеры, одежду или галстуки. Линии, круги, пятна и бесчисленные всевозможные формы повторяли, поворачивали, отражали зеркально и раскрашивали разными цветами, применяя все известные математикам типы симметрии. Венгерский математик Дьёрдь Пойа показал, что любую поверхность можно покрыть только семнадцатью типами узоров (рис. 14.6). Все семнадцать были известны художникам, украшавшим античные сосуды и храмы, создававшим римские мозаичные полы и Альгамбру, работавшим с Уильямом Моррисом над его обоями, и т. д. Люди – это животные, создающие узоры, и, несмотря на все усилия дизайнеров и архитекторов-минималистов, людям свойственно почти навязчивое желание украшать все на свете узорами, что связано, как заметил историк искусства сэр Эрнст Гомбрих, с нашим врожденным чувством порядка. Едва ли удивительно, что ощущение стройности многих научных теорий связано с присущей им глубинной симметрией – как если бы они были покрыты узорами. Равным образом, нас не должно удивлять, что любовь к симметрии иногда вводит в заблуждение, особенно часто в случаях, когда теория возобладала над экспериментом, как произошло в одном из великих опытов начала эпохи электричества, к которому мы сейчас обратимся[528].
Рис. 14.4. Примеры узоров в римских мозаиках
Рис. 14.5. Одежда из рафии из Кубы, Заир
Самую большую неожиданность в науке начала XIX века принесли не такие признанные центры научной мысли, как Лондон, Париж или Берлин, а Копенгаген. Ханс Кристиан Эрстед был фактически самоучкой-аутсайдером, но он проделал опыт, который только аутсайдер и мог придумать. Открытие электричества в буквальном смысле гальванизировало научный мир Европы, который пребывал в убеждении, что электричество и магнетизм как-то связаны. Эрстед сделал батареи, способные пропускать сильный ток через толстый кусок проволоки, чтобы посмотреть, что произойдет с расположенным рядом магнитом. Разместив магнит в соответствии с направлением линий магнитного поля Земли, он положил под него под прямым углом толстый кусок проволоки и включил рубильник, чтобы узнать, не сдвинется ли магнит под влиянием проходящего по проволоке тока (рис. 14.7). На протяжении восьми лет он проделывал разные варианты этого опыта, но безуспешно – магнит не двигался. Хотя эксперимент был прост, он был поставлен неправильно, и именно вера в симметрию мешала Эрстеду поставить правильный опыт. Опыт, который он безуспешно повторял, показан на рис. 14.7a, проволока расположена под прямым углом к магниту. В конце концов весной 1820 года Эрстед попытался поставить опыт иначе (рис. 14.7b), поместив магнит параллельно проволоке. К его радости, магнит повернулся вправо, по часовой стрелке. В течение нескольких месяцев имя Эрстеда стало известно всему научному сообществу Европы: в Лондоне сэр Хэмфри Дэви описал опыт Майклу Фарадею, который тут же воспроизвел его, а в Париже результат вскоре повторил Ампер[529].
Рис. 14.6. Семнадцать математически различных типов узоров, которыми можно разрисовать обои, по Дьёрдью Пойа
Рис. 14.7. a. Опыт, который Эрстед повторял многократно, но безуспешно: магнит оставался неподвижным. Магнит (отмечены северный и южный полюсы) лежит на проволоке, в которой показано условное направление тока (→) от положительного потенциала к отрицательному.
b. Успешный опыт, в котором магнит расположен параллельно проволоке; схема справа – из журнала опытов Эрстеда от 15 июля 1820 года.
c. Трехмерная картина успешного опыта, где показана скрытая асимметрия, связанная с электронами в магните
Результат и в самом деле был великолепен. Более шестидесяти лет спустя Эрнст Мах писал об «интеллектуальном потрясении», которое он испытал, впервые услышав, что намагниченная
