Шрифт:
Закладка:
— Посмотрим теперь, что происходит при трех бросках. Здесь уже возможны восемь случаев:
ООО, ОРО, РОО, РРО, PPP, OOP, OPP, POP.
Преобразуем это хозяйство тем же способом: ООО, 3ООР, 3ОРР, РРР. И снова (О + Р)3 = О3 + ЗО2Р + ЗОР2 + Р3. При четырех бросках в нашем распоряжении уже 16 случаев. Стало быть, (О+Р)4 = О4 + 4О3Р + 6О2Р2 + 4ОР3 + Р4. Взглянув на все это вместе, мы увидим, что все время имеем дело с двучленом, иначе говоря, биномом 0 + Р, возводимым каждый раз в иную степень. Причем показатель степени бинома соответствует числу бросков. При двух бросках перед нами бином в квадрате, при трех — в кубе и так далее. Затем, обратив внимание на правые части наших неравенств, увидим, что показатели степени при О и Р всякий раз указывают на заранее условленное число выпадений О или Р, а числовые коэффициенты при этих слагаемых — на число благоприятных случаев. Сумма же всех этих коэффициентов есть общее число всех возможных случаев. И так как вероятность события — это отношение благоприятных случаев к числу всех возможных, то вероятность выигрыша р в данном случае равна отношению коэффициента соответствующего слагаемого к сумме всех коэффициентов.
— Все это хорошо, — мнется Фило, — но как вычислить коэффициенты заранее? Тем более — их сумму. Допустим, игроки условились бросать монету не по восьми, а по двадцати восьми раз, что тогда?
— Хороший вопрос, — одобряет Асмодей. — Из него следует, что нам необходимо вывести общее правило вычисления коэффициентов для любого количества бросков, иначе говоря — для любой степени бинома: О плюс Р в степени п.
— Начнем с того, что выпишем биномы для каждой степени в отдельности, — предлагает Мате. — Ну, в нулевой степени бином, естественно, превращается в единицу.
(O + P)0 = 1
(О + Р)1 = О + Р,
(О + Р)2 = О2 + 2ОР + Р2,
(О + Р)3 = О3 + ЗО2Р+ЗОР2+Р3,
(О + Р)4 = О4 + 4О3Р + 6О2Р2 + 4ОР3 + Р4.
Остается выписать отдельно все коэффициенты:
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
— Ой, — изумляется Фило, — это же треугольник Паскаля! Прекрасно помню, что по наклонным линиям числа там расположены симметрично.
— Умница! — одобряет Мате. — Теперь вам легко понять, что любой коэффициент при возведении бинома в степень есть не что иное, как некое число сочетаний. А сумма всех коэффициентов данной строки равна двум в степени бинома, то есть номера строки.
Некоторое время Фило сидит молча. Ему необходимо переварить эти неожиданные совпадения. До чего все связано! То-то он никак не мог уразуметь, почему Ферма и Паскаль, занимаясь теорией вероятностей, обратились к фигурным числам и формуле сочетаний? А сочетания, оказывается, имеют для теории вероятностей немалое значение.
— Вообще, как я погляжу, — продолжает он уже вслух, — в науке одно постоянно вытекает из другого. Это похоже на разветвленную водную систему, состоящую из тысяч ручейков, речушек и рек…
— …которые в конце концов вливаются в одно большое озеро или море, — развивает его мысль Асмодей. — Нечто подобное как раз произойдет и в науке семнадцатого века. Все ее, иногда разрозненные, а иногда и связанные между собой течения в конце концов объединятся в научном творчестве двух величайших ученых: англичанина Исаа́ка Нью́тона и немца Го́тфрида Ле́йбница.
— Бесспорно, — поддерживает его Мате. — Возьмем механику. Всё, сделанное ранее Коперником, Галилеем и Кеплером в области движения небесных тел, найдет блистательное подтверждение и завершение в законе всемирного тяготения Ньютона.
— А математика, мсье? — перебивает Асмодей. — Весь этот пристальный интерес к неделимым, к наибольшим и наименьшим величинам, над которыми ломали головы и Декарт, и Роберваль, и Ферма, и, разумеется, Паскаль, — разве не приведет он в конце концов к открытию дифференциального и интегрального исчисления, которое почти одновременно и независимо друг от друга совершат Ньютон и Лейбниц?
— Не забудьте про комбинаторику, — суетится Мате, — науку о группировках, к которым как раз относятся сочетания. Комбинаторикой занимались и Ферма, и Паскаль, и Гю́йгенс[45], который, кстати сказать, тоже внес свою лепту в разработку теории вероятностей. Ньютон же, в свою очередь, использовал сочетания в разложении степени бинома.
Фило озабоченно хмурится.
— Бином Ньютона… Как сказал поэт, «все это уж было когда-то, но только не помню, когда». В десятом классе, кажется…
— С вашего разрешения, не далее чем несколько минут назад, — ехидничает Мате. — Потому что рассмотренные нами степени бинома имеют самое прямое отношение к формуле бинома Ньютона. Остается лишь записать ее в общем виде. — Он снова хватается за блокнот. — Однако прежде всего запомните, что число сочетаний принято обозначать латинской буквой С…
— От французского «комбинезо́н» — «сочетание», — поясняет Асмодей.
— При этом справа от С ставятся два индекса, — продолжает Мате, — пониже и повыше. Нижний обозначает число предметов, из которых составляются сочетания. Верхний — число предметов в каждом отдельном сочетании. Например, число сочетаний из пяти по два: C52. А в общем виде число сочетаний из п предметов по k: Cnk. Вот теперь можно и записать формулу бинома Ньютона для О и Р, чтоб уж не отвлекаться от нашей задачи:
(О+Р)n = Оп + Сn1Оп—1Р + Cn2Оп—2Р2 + Cn3Oп—3P3 + … + CnkOn—kPk+ … +Рп.
— А как же все-таки вычислить вероятность выигрыша при любом числе бросков? — недоумевает Фило.
— Могли бы
