за счет асимметричного расположения пика уровней в году. Не помогло даже соблюдение правила об окончании ряда (базы расчета параметров) на той же фазе (квартале), как и на начало ряда.

Чтобы скорректировать расчет, необходимо «снять» из числителя параметра Ь указанное неравенство, т. е. превышение положительных произведений отклонений от тренда на веса по четырем кварталам над отрицательными произведениями отклонений от тренда по остальным кварталам.

Средний вес пиковых уровней равен 1, следовательно, положительное превышение за счет асимметрии весов равно: (100 + 60) 1 = 160. Нулевые произведения не дают искажений, а отрицательные произведения дают уровни 2 кварталов, их средний вес равен -1, произведение равно: (26 + 38) (—1)= -64. Избыток положительного искажения над отрицательным составил: 160 — 64 = 96. Эту величину следует исключить из числителя при расчете параметра Ь. В результате имеем:

Ькор = (308 — 96)/160 = 3,533.

Итак, корректированное уравнение тренда имеет вид:

y^i корр = 42,67 + 3,53∙ti, t = 0 в 1-м квартале II года.

Таким образом, преувеличение среднего прироста уровней за квартал за счет несимметричного распределения сезонных пиков уровней составляло: 5,13 — 3,53: 3,53 = 0,45, или 45 %. Индекс сезонности для 1 — го квартала I года при первичном тренде составил бы: 20: 22 = 0,909, а при корректированном тренде — 0,690, т. е. величина сезонного снижения уровня составила бы не 9,1 %, а 31 %, т. е. втрое больше. Следовательно, без корректировки тренда вся картина динамики была бы сильно искажена.

К сожалению, еще более сложные методики корректировки для других типов тренда не могут быть здесь изложены, тем более что многие из них еще предстоит разработать и ввести в пакеты статистических программ для ЭВМ.

При длительном временном ряде и расположении пика сезонных колебаний в середине года либо примерно на равном расстоянии от середины года достаточно выполнить многократное скользящее выравнивание. Рассмотрим подробно измерение сезонных колебаний затрат труда на прогрессивно развивающемся сельскохозяйственном предприятии за три года (табл. 6.3).

Примечание. Я — январь, Ф — февраль, М — март, А — апрель, И — июнь. Ил. — июль, Ав. — август, С — сентябрь, О — октябрь, Н — ноябрь, Д — декабрь.

После вычисления тренда и его уровней за все месяцы вычисляются отношения фактических уровней к уровням тренда, т. е. индексы сезонности. Однако в них включены и случайные колебания. Чтобы очистить индексы сезонных колебаний от случайности, нужно их усреднить за несколько (лучше 10 и более) лет. В учебном примере у нас только три года (для января — четыре), что на самом деле недостаточно для отделения сезонных, типичных колебаний от случайных особенностей процесса в разные годы. Вычисляем средние индексы сезонных колебаний:

Сумма индексов составила 12,14 6, хотя средний индекс должен быть равен единице. Следует откорректировать индексы на пропорциональную величину, т. е. от больших отнять больше, от меньших — меньше, примерно на 0,01 от общей величины. Корректированные индексы запишем слева от названий месяцев.

Далее, умножая уровень тренда на корректированные средние индексы, находим уровни с учетом тренда и сезонных колебаний, но, исключая случайные колебания, y^ii¯сезi округлены в табл. 6.3 до целых. То, что 37Σi=1y^ii¯сезi меньше 37Σi=1y^i, не является недостатком расчета: дело в «лишнем» январе, уровень которого с учетом сезонного колебания в среднем за три года ниже тренда на 30, в результате даже с учетом этого остается небольшой избыток 37Σi=1y^ii¯сезi, объясняемый округлением. Избыток на 6 при сумме уровней 2220, разумеется, несуществен.

Далее вычисляем отклонения фактических уровней от y^ii¯сезi, т. е. случайные колебания и их квадраты, с целью вычисления среднего квадратического отклонения уровней затрат труда от «модели», учитывающей тренд и средние сезонные колебания:

S(t)случ = √[393/(37 — 2 -11)] = 4,05 тыс.ч.

В знаменателе стоит число степеней свободы случайной колеблемости: вычитается из числа уровней 37 две степени свободы линейного тренда и 11 степеней свободы месячных колебаний (двенадцатый индекс сезонности — величина несвободная, так как задана их сумма за год, равная 12 целым). Коэффициент случайной колеблемости составил: 4,05: 60 = 0,0675, или 6,75 %. Колеблемость слабая. Силу самих же сезонных колебаний можно оценить по их среднему квадратическому колебанию:

Сезонные колебания за год имели 11 степеней свободы вариации, но в ряду отклонении у y^i — y^ x i¯сезi повторяются три раза, так что правильно будет считать всего 33 квадрата сезонных колебаний и делить сумму квадратов на 33, иначе получится нереально большая величина. Вопрос о степенях свободы вариации при сезонных колебаниях требует дальнейшего исследования. Коэффициент сезонной колеблемости V(t)ceз = 31,35/60 = 0,522, или 52,2 %. Сезонная колеблемость сильная.

Графическое изображение сезонных колебаний затрат труда на сельскохозяйственном предприятии построим в полярных координатах (рис. 6.5), т. е. каждый месяц в окружности занимает 30° (360°: 12). Радиус равен 1, а точки откладываются от центра на величину р = i¯сезi

Рис. 6.5. Сезонные колебания затрат труда на сельскохозяйственном предприятии.

При отсутствии сезонности фигура I (см. рис. 6.5) лежала бы точно по окружности.

6.3.3. Представление синусоидальных колебаний в форме тригонометрического уравнения Фурье

Выдающийся французский математик Жан Батист Жозеф Фурье (1768–1830) предложил метод преобразования периодических функций в ряд тригонометрических уравнений, называемых гармониками. Этот метод подходит для аналитического выражения сезонных колебаний, имеющих синусоидальную форму. Исходным рядом для преобразования Фурье лучше всего принять не первичный ряд за несколько лет, а усредненный ряд месячных уровней, в котором исключен тренд и (или) в основном погашены случайные колебания. Рассмотрим сезонные колебания среднего по ферме надоя молока на 1 корову (табл. 6.4).

Тригонометрическое уравнение ряда Фурье для его первой гармоники, которой мы здесь и ограничимся, имеет форму:

Смысл уравнения состоит в том, что без сезонных колебаний все уровни были бы равны среднемесячному, т. е. у¯; колебания же в равной мере разнесены на sin t и cos t. В первом квадранте (т. е. от января до апреля) косинус является положительной величиной и снижается от 1 до 0, синус тоже положителен и возрастает от 0 до 1. Во втором квадранте (апрель — июль) косинус отрицателен и снижается от