Рис. 7.1. Доверительные границы генерального тренда среднегодовой температуры воздуха в Санкт-Петербурге

____ — средний тренд

____ — границы тренда с вероятностью 0,95

7.3. Вероятностная оценка показателей колеблемости

Для сравнения показателей колеблемости разных временных рядов необходимо использовать известные в математической статистике методы вероятностной оценки среднего квадратического отклонения или коэффициента вариации. Их можно применять для вероятностных оценок среднего квадратического отклонения уровней ряда от тренда и коэффициента колеблемости.

Средняя ошибка репрезентативности выборочной оценки генерального среднего квадратического отклонения от тренда при их нормальном распределении имеет вид [19, с. 499–500]:

mS(t) = S(t)/√2n

где S(t) — среднее квадратическое отклонение уровней от тренда;

n — число уровней.

Критерий Стьюдента — отношение среднего квадратического отклонения уровней от тренда к его средней ошибке — примет вид: S(t): mS(t) = √2n. Так как эту величину, как и табличное значение критерия Стьюдента для вероятностей 0,95 и 0,99, можно свести в одну таблицу, получаем готовую таблицу для оценки надежности отличия генерального среднего квадратического отклонения уровней от нуля (табл. 7.3).

Таким образом, если обнаружена колеблемость уровней ряда, число уровней которого более 5, то можно считать достаточно надежно установленным, что отличие S(t) от нуля не случайно.

Доверительная граница среднего квадратического отклонения уровней от тренда с заданной вероятностью равна

S(t) ± tСтьюд∙mS(t).

Например, доверительный интервал средней силы колебаний среднегодовой температуры воздуха в Санкт-Петербурге за 1957–1997 гг. с вероятностью 0,95 составил:

1,121 ± 2,03∙1,121/√(2∙41) = 1,121 ± 0,251°.

Доверительный интервал среднего квадратического отклонения урожайности зерновых культур во Франции за 1970–1995 гг. (см. табл. 6.5) с вероятностью 0,99 составляет:

3,54 ± 2,80∙3,54/√(2∙26) = 3,54 ± 1,37 ц/га

Ввиду довольно значительной силы колебаний, доверительный интервал оценки генерального среднего квадратического колебания также довольно широк, Ошибка возрастает прямо пропорционально силе колеблемости и росту надежности оценки, а уменьшается обратно пропорционально корню квадратному из числа уровней ряда.

Средняя ошибка репрезентативности выборочной оценки генерального коэффициента колеблемости имеет вид [20]:

где V(t) — коэффициент колеблемости, %.

Например, коэффициент вариации урожайности зерновых во Франции за 1970–1995 гг. составил 6,9 %. Если рассматривать этот показатель как выборочный для Франции вообще на больший период, то средняя ошибка коэффициента как оценки генерального равна:

[6,9/√(2∙26)]∙√(1 + 2∙0,0692) = 0,96%

С вероятностью 0,95 при 25 степенях свободы вариации доверительные границы генерального коэффициента вариации составят 6,9 % ± 2,06 0,96 %, или от 4,94 до 8,86 %. Таким образом, почти наверняка колеблемость слабее 10 %.

Не менее, а может и более, важной задачей, чем вероятностная оценка генеральных параметров колеблемости, является вероятностная оценка крайних отклонений от тренда, например, сильных неурожаев, экстремальных температур и влажности воздуха, скорости ветра и т. п. Эти экстремальные отклонения определяют производственные риски, а оценка вероятности рисков — одна из главных задач менеджмента в любой отрасли народного хозяйства.

Вероятностная оценка отклонений от тренда возможна в том случае, если известен закон вероятностей их распределения по величине отклонений. Хотя ни в одном реальном временном ряду отклонения не подчиняются абсолютно точно какому-то теоретическому распределению вероятностей, во многих процессах распределение вероятностей отклонения от тренда близко к нормальному закону. В нашем примере распределение отклонений от тренда среднегодовой температуры воздуха в Санкт-Петербурге близко к нормальному (табл. 7.4).

Вероятность попасть в интервал при условии нормального распределения отклонений по их величине Pi — это половина разности интегральных функций нормального распределения:

0,5[F(t1) — F(t2)], где t1, t2 — значения критерия для границ интервала. Для среднего интервала от

t1 = -0,36 до t2 = +0,36

вероятность Р = F(0,36). теоретические частоты fTi есть произведение n∙ Pi, где n = 41.

Итог последней графы — это критерий χ2 (хи-квадрат). Табличное значение критерия для значимости 0,10 равно 4,60 при двух степенях свободы, а фактическое — много ниже табличного. Следовательно, вероятность сходства распределения отклонений температуры от тренда с нормальным много больше, чем 0,1, и гипотеза о нормальном распределении не отвергается.

Другие временные ряды, рассмотренные в данном учебном пособии, слишком коротки для проверки по χ2. В 1976–1980 гг. кафедрой статистики Ленинградского сельскохозяйственного института (ЛСХИ) было проведено по договору с Управлением статистики сельского хозяйства Центрального статистического управления (ЦСУ) СССР изучение колебаний урожайности по многим культурам в областях и краях РСФСР. Среди других был получен вывод о близости распределения отклонений урожайности от трендов по величине отклонений к нормальному закону распределения [19, с. 3–9].

Этот эмпирический вывод подкрепляется теоретическими соображениями: колебания урожайности зависят от очень большого числа сравнительно независимых факторов, каждый из которых не играет определяющей роли. Следовательно, колебания урожайности отвечают условиям «предельной теоремы Ляпунова», которая устанавливает, когда случайная переменная имеет нормальное распределение вероятностей. На этом основании будем считать, что и колебания урожайности зерновых во Франции подчинены нормальному закону. Среднее квадратическое отклонение, согласно данным табл. 6, равно 3,54 ц/га. Находим вероятности рисков, т. е. что отклонение от тренда вниз (неурожай) превышает уровни -5 ц/га; -7 ц/га; -10 ц/га; -12 ц/га (табл. 7.5).

Вероятность Р равна половине разности между единицей и F(t), т. е. применяется односторонний критерий (иногда в литературе приводится готовая таблица вероятностей именно этого критерия). Поясним определение этой вероятности с помощью графика (рис. 7.2), из которого ясно и то, что у нас обозначено как F(t).

Рис. 7.2. Вероятность отрицательного отклонения, большего по величине, чем заданная граница

Таким образом, вероятность небольшого неурожая (отклонения на 5 ц/га или больше) почти равна 8 %, т. е. в среднем может случиться 8 раз за 100 лет, а вот вероятность сильного неурожая во Франции (больше, чем на 10 ц/га вниз от тренда) очень мала — всего 0,002. Таким риском можно пренебречь. Конечно, это относится к стране в целом, а для отдельного фермера и колеблемость урожаев будет гораздо больше, и вероятность риска. Для ее определения нужно анализировать временной ряд урожайности на ферме.

Логически ясно (это видно из графика, рис. 7.2), что точно такова же, как вероятность неурожая больше, чем на 2S(t) от тренда вниз, так и вероятность высокого урожая больше, чем на 2S(t) от тренда вверх. И с таким «сверхурожаем» тоже может быть связан коммерческий риск — риск сильного падения цены на