временные ряды всегда отклоняются от строго линейной, параболической, экспоненциальной или иной любой абстрактно-математической линии, то колеблемость всегда несколько преувеличивается за счет неполного соответствия истинной тенденции динамики какому-либо принятому типу линии тренда. Например, наверняка часть колеблемости численности населения Земли (см. табл. 5.6) на самом деле объясняется тем, что «истинная» тенденция роста населения не являлась за 1950–2000 гг. строго экспоненциальной.

6.3. Особенности измерения сезонных колебаний

Сезонными называют колебания, связанные со сменой времен года и повторяющиеся поэтому ежегодно. Связь может быть непосредственной, как, например, связь сезонной смены температур воздуха с объемом товарооборота разных видов одежды и обуви или мороженого. В других случаях связь колебаний изучаемого показателя с временами года опосредована социальными, юридическими и экономическими факторами, как, например, сезонное увеличение средней заработной платы и среднедушевого дохода в декабре (13-я зарплата, премии по итогам годовой деятельности, распределение доходов к Новому году и Рождеству и т. п.). Таковы же сезонные колебания числа браков, приурочиваемых традицией к тем или иным праздникам.

Непосредственно связанные со сменой температуры колебания имеют характер плавных циклов, без скачкообразных изменений уровней, т. е. так, как меняется в течение года сама температура воздуха. Опосредованные же сезонные колебания могут иметь резкие скачки уровней, несколько максимумов и несколько минимумов за год. Это различие существенно для выбора статистической модели сезонной колеблемости.

Для правильного измерения сезонных колебаний очень важно, чтобы тренд был рассчитан правильно, что, в свою очередь, требует учета сезонных колебаний (см. разд. 5.5).

6.3.1. Плавные синусоидальные колебания при несущественности тренда

Поскольку колебания такого рода связаны с сезонным ходом температуры воздуха, целесообразно рассмотреть колебания самой температуры (табл. 6.1).

Данные табл. 6.1 позволяют сделать ряд важных выводов для методики изучения сезонных колебаний:

1) температура воздуха в одноименные месяцы разных лет неодинакова. Самым холодным является то январь, то февраль, то декабрь; самым теплым бывает июнь, июль или август. Вывод: в уровнях отдельного года отражены не только закономерные сезонные колебания для климата данного города, но и случайные отклонения погоды в отдельные годы от климатической нормы. А значит, случайные колебания будут (были!) присущи и всем экономическим показателям этих лет, связанным с изменением температуры воздуха;

2) средняя температура воздуха за 1995–1997 гг. совпадает со средней за 1988–1997 гг., что означает отсутствие существенной общей тенденции на протяжении 10 лет (более подробные исследования динамики температуры воздуха в Ленинграде (Санкт-Петербурге) за 40 лет показали, что тенденция существует, но слабая: среднегодовой абсолютный прирост температуры составил 0,0255° в год, что на протяжении до 10 лет, конечно, несущественно);

3) по данным одного только года нельзя точно измерить сезонные колебания, так как они будут смешаны со случайными колебаниями. Чтобы измерить сезонные колебания, необходимо усреднить уровни каждого месяца за достаточное число смежных лет, чтобы случайные колебания уровней в основном взаимопогасились. В данном примере усреднены месячные температуры за 10 лет. Часто в учебниках по статистике для экономии места приводят при анализе сезонных колебаний среднемесячные уровни за 2–3 года, что, конечно, совершенно недостаточно для взаимопогашения случайных колебаний, особенностей отдельных лет.

В чем же состоит измерение сезонных колебаний по усредненным за ряд лет данным? Традиционным показателем служат так называемые индексы сезонности, под именем которых понимают отношения уровней каждого месяца к среднемесячному уровню за весь год. Обычно их выражают в процентах. Например, средняя температура июля составляет в Ленинграде (Санкт-Петербурге) 310 % к средней температуре за год. Отрицательные индексы в данном примере неинтерпретируемы, так как температура исчислялась от условного нуля, а не от абсолютного нуля (в шкале Кельвина).

Обобщающим абсолютным показателем силы сезонных колебаний служит среднее квадратическое отклонение средних температур месяцев от среднегодовой температуры:

Эта величина — один из основных показателей климата данной территории. Например, в регионах с так называемым морским климатом, на островах, побережье океанов сезонные колебания температур намного слабее, чем в глубине материков, в регионах с континентальным климатом, где колебания гораздо сильнее. Например, на северо-западе Великобритании σ ~ 3°, а в Узбекистане (г. Бухара) σ ~ 12°.

Относительный показатель интенсивности колебаний для температур в Петербурге непригоден по уже указанной причине, как и для всех рядов, имеющих положительные и отрицательные уровни.

Сезонные колебания можно изобразить графически двумя способами: в прямоугольных и полярных координатах. На рис. 6.4 хорошо видно, что в разные годы продолжительность лета и зимы разная.

Выше 15 °C — дни считаются летними, ниже 0 °C — зимними.

Графическое изображение сезонных колебаний в полярных координатах покажем на примере другого вида колебаний (рис. 6.4).

Рис. 6.4. Колебания месячной температуры воздуха в Санкт-Петербурге за 1995–1997 гг.

6.3.2. Сезонные колебания, не имеющие синусоидальной формы при наличии существенной тенденции

В качестве примера такого вида сезонных колебаний рассмотрим динамику реализации свиней после откорма, имеющую пик в 4-м квартале года (табл. 6.2), и сезонные колебания затрат труда на развивающемся предприятии с двумя пиками в мае-июне и в августе-сентябре (табл. 6.3).

a = 42,67; b = 308/60 = 5,13

Первичный тренд: у^ = 42,67+ 5,13ti, где ti = 0 в 1-м квартале II года.

При наличии сезонных колебаний, не имеющих синусоидального характера, особенно для рядов, имеющих резкий пик в первые или в последние месяцы года, методики расчета параметров тренда, описанные ранее (см. гл. 5), оказываются недостаточно пригодными, особенно если ряд не очень длинный и нельзя применить многократное выравнивание. Рассмотрим, например, ряд квартальных уровней за два года и один квартал, так как необходимо, как уже подчеркивалось в гл. 5, чтобы начало и конец ряда (база выравнивания) приходились на одну и ту же фазу цикла или часть года (квартал, месяц). Далее будем считать, что резкий пик уровней приходится ежегодно на 4-й квартал.

Резко выделяющийся пик уровней приходится на периоды со значениями ti, равными -1 и 3, в среднем положительными. Наоборот, минимальные уровни первых кварталов приходятся на значения ti, равные соответственно -4; 0; 4, в среднем нулевые веса; низкие значения уровней вторых кварталов приходятся на значения ti, равные соответственно -3 и 1, в среднем отрицательные. Значения уровней третьих кварталов также более низкие, чем в среднем за год, приходятся на значения ti, равные -2 и 2, в среднем нулевые. Итак, в целом высокие значения уровней входят в расчет параметра Ь с положительными весами, а остальные, низкие, уровни — с нулевыми или отрицательными весами. Следовательно, параметр Ь (средний годовой прирост) завышается