Рис. 20.8. Для π-угольника (a1 +… + an) — nπ + 2π = 0

Проделаем то же самое для всех граней P и просуммируем. Каждая грань вносит в сумму 2π, а каждое ребро –2π (по —π с каждой стороны). Поэтому

S — 2πЕ + 2πF = 0,

где S — сумма всех внутренних углов P. Теперь прибавим T, полный угловой недостаток, к обеим частям равенства:

(T + S) — 2πЕ + 2πF = T.

Поскольку T — полный угловой недостаток, то, прибавив T, мы прибавили ровно столько, что сумма углов при каждой вершине снова стала равна 2π. Иными словами, T + S равно 2πV. Стало быть, T = 2πV — 2πЕ + 2πF = 2πχ(Р).

Формула Декарта — красивая иллюстрация связи между топологией и геометрией. Поскольку полный угловой недостаток выражается через эйлерову характеристику, мы видим, что топология многогранника полностью определяет один из аспектов его глобальной геометрии.

В качестве приложения этой теоремы предлагаем читателю найти новое доказательство того, что платоновых тел всего пять.

В этой книге мы, как правило, предполагали, что ребра, разбивающие поверхность на грани, — топологические сущности. Ребра можно произвольно изгибать и создавать грани самой причудливой формы. В этой главе мы рассматриваем гораздо менее разнузданную дисциплину — геометрию. В идеале хотелось бы, чтобы грани были многоугольниками с прямолинейными ребрами. На искривленной поверхности ребра не могут быть прямыми, поэтому взамен мы требуем, чтобы они были геодезическими кривыми.

В главе 10 мы ввели понятие геодезической на сфере. Это была дуга большой окружности. Оказывается, что геодезическую кривую можно определить на любой жесткой поверхности. Она характеризуется минимальной длиной — кратчайший путь между двумя точками на поверхности проходит по геодезической. Хорошо известное выражение «кратчайшее расстояние между двумя точками измеряется по прямой» следовало бы заменить на «кратчайшее расстояние между двумя точками измеряется по геодезической». В оставшейся части этой главы мы будем предполагать, что ребрами на поверхностях являются геодезические кривые, так что грани являются геодезическими многоугольниками.

Работа с геодезическими многоугольниками имеет то преимущество, что мы можем измерять углы в вершинах. Ребра кривые, но если рассматривать углы под микроскопом (фигурально выражаясь), то они будут казаться прямыми, поэтому их можно измерять.

Для треугольников на плоскости сумма углов равна 180°, но на типичной поверхности это правило не действует. Напомним, что Хэрриот и Жирар доказали, что сумма внутренних углов геодезического треугольника на сфере больше 180° (глава 10). Существуют другие поверхности, например седловидные, для которых сумма внутренних углов геодезического треугольника меньше 180° (см. рис. 20.9).

Рис. 20.9. Треугольник с угловым избытком (слева) и с угловым недостатком (справа)

Поэтому можно говорить об угловом избытке или угловом недостатке геодезического треугольника — величине, на которую сумма внутренних углов отличается от суммы углов плоского треугольника. Угловым избытком геодезического треугольника с внутренними углами a, b, c называется величина (a + b + с) — π. Если (a + b + с) — π отрицательно, то у треугольника имеет место угловой недостаток.

Аналогично можно определить угловой избыток или недостаток геодезического n-угольника. Как мы знаем, сумма внутренних углов плоского n-угольника равна (n — 2)π. Поэтому угловой избыток n-угольника с внутренними углами a1, a2, …, an равен (a1 + a2 + … + an) — (n — 2)π.

Важно не путать угловой избыток и недостаток для многогранников и для поверхностей. У многогранника угловой избыток или недостаток испытывают вершины, а у поверхности — грани. Одинаковые названия могут ввести в заблуждение, но, как мы увидим ниже, на самом деле они тесно связаны.

Возьмите комок пластилина и вылепите октаэдр. Каждая его грань — равносторонний треугольник, поэтому угловой недостаток в каждой вершине равен 2π — 4(π/3) = 2π/3. Поскольку всего вершин шесть, полный угловой недостаток равен 6(2π/3) = 4π, что согласуется с формулой Декарта. Покрасьте все ребра маркером. Затем положите многогранник на стол и раскатайте его, так чтобы он принял сферическую форму (рис. 20.10). Грани, когда-то бывшие треугольниками, стали искривленными поверхностями. Если деформация выполнена аккуратно, то прямые ребра превратятся в геодезические отрезки, а грани — в геодезические треугольники.

Рис. 20.10. Октаэдр, раскатанный в шар

После раскатывания октаэдра в шар ни в какой вершине не наблюдается углового недостатка. Все вершины разгладились, так что сумма углов при каждой вершине равна 2π. Куда же делся угловой недостаток?

Легко видеть, что в ходе этого процесса величины внутренних углов треугольника изменились. Углы при каждой вершине, которые раньше были равны 60°, теперь стали прямыми. Каждый треугольник на пластилиновом шаре имеет три прямых угла, так что сумма внутренних углов равна 3π/2. Для треугольных граней имеет место угловой избыток. Угловой недостаток в вершинах октаэдра распределился по граням шара и стал угловым избытком треугольников. Аналогично для любого разбиения поверхности на геодезические треугольники в вершинах нет ни углового недостатка, ни углового избытка, зато он есть в гранях.

Если поверхность разбита на грани, геодезические ребра и вершины, то полным угловым избытком называется сумма угловых избытков всех граней. Как полный угловой недостаток многогранника связан с его эйлеровой характеристикой (формула Декарта), так полный угловой избыток поверхности связан с ее эйлеровой характеристикой. Мы имеем следующий аналог формулы Декарта для поверхностей.

Теорема об угловом избытке для поверхностей

Полный угловой избыток поверхности S равен 2πχ(S).

Доказательство этой теоремы наверняка покажется вам знакомым. Пусть поверхность S разбита на вершины, геодезические ребра и грани. Поставим в центр каждой грани 2π, рядом с каждым ребром —π, а в каждую вершину величину угла (см. рис. 20.11). Просуммировав эти величины для одной n-угольной грани с внутренними углами a1 a2…, an, получим угловой избыток этой грани:

2π — nπ + (a1 + а2 +… + an) = (a1 + a2 +… + an) — (n — 2)π.

Рис. 20.11. Разметка поверхности: 2π на каждой грани, — π на каждом ребре и величины углов в каждой вершине

Следовательно, сумма этих величин по всей поверхности дает полный угловой избыток поверхности.

С другой стороны, каждая грань привносит 2π, каждое ребро —2π, а каждая вершина — 2π. Сумма эти значений равна 2πF