Пуанкаре всеми признан как виднейший математик своего времени. Он был настоящим универсалом. Подобно Эйлеру и Гауссу, Пуанкаре был специалистом почти во всех областях математики, чистой и прикладной. Он жадно проглатывал литературу и был в курсе всех последних результатов. Как и Эйлер (но не Гаусс), Пуанкаре много печатался. Из-под его пера вышло почти пятьсот статей, а также много книг и материалов к лекциям. Он внес важный и не теряющий значения с годами вклад в такие разные области, как теория функций, алгебраическая геометрия, теория чисел, дифференциальные уравнения — обыкновенные и в частных производных, небесная механика, динамические системы и, конечно, топология. Он также опубликовал много статей по теоретической физике. Для Пуанкаре было характерно неистощимое любопытство, которое вело его от одного предмета к другому. Бывало, что он набрасывался на новую область математики, оставлял в ней неизгладимый след, а затем переходил к следующей. Один современник назвал его «завоевателем, но не колонистом».

Удивительно, что он не только умел делать первоклассную математику, но и писать на уровне, доступном неспециалистам. Он автор многочисленных ярких и увлекательных публикаций о науке и математике для широкой аудитории. Его тексты переведены на многие языки, их читают во всем мире.

Интересы Пуанкаре охватывали всю математику, но на протяжении всей карьеры он снова и снова возвращался к изучению дифференциальных уравнений. Его успехи в этой области поражают воображение. По словам математика Жана Дьедонне (1906–1992), «самым выдающимся плодом творчества Пуанкаре стала… качественная теория дифференциальных уравнений. Это один из немногих примеров математической теории, которая внезапно возникла из ниоткуда и почти сразу достигла совершенства в руках своего создателя»173. Показательным примером стало его открытие формулы индекса.

Свой первый вклад Пуанкаре сделал в 1881 году. В этой работе он взял дифференциальное уравнение и построил векторное поле на сфере. Он определил индекс нуля и доказал, что сумма индексов всех нулей равна 25174. Конечно, это не простое совпадение, поскольку 2 совпадает с эйлеровой характеристикой сферы. Пуанкаре явно сформулировал это наблюдение в 1885 году, доказав, что сумма индексов нулей векторного поля на поверхности равна ее эйлеровой характеристике175. В следующем году он определил индекс нуля векторного поля в n-мерном пространстве и представил набросок идеи n-мерной теоремы об индексе. Трудность развития этой программы заключалась в том, что топологического аппарата еще не существовало (его, как мы увидим в главе 23, Пуанкаре создал позднее).

В 1911 году Брауэр обобщил теорему Пуанкаре об индексе на n-мерную сферу Sn. Мы знакомы с S1, единичной окружностью на плоскости (x2 + у2 = 1), и S2, единичной сферой в трехмерном пространстве (x2 + y2 + z2 = 1). Вообще, Sn — это множество точек, удаленных на расстояние 1 от начала координат в (n + 1) — мерном пространстве (x12 + x22 +… + x2n+1 = 1). Брауэр доказал, что для любого векторного поля на Sn сумма индексов нулей равна 0, если n нечетно, и 2, если n четно176. В главах 22 и 23 мы обсудим эйлерову характеристику в многомерных пространствах. И узнаем, что χ(Sn) = 0, когда n нечетно, и χ(Sn) = 2, когда n четно.

Следующим из основных соавторов был Хайнц Хопф (1894–1971). Хопф родился в немецком городе Бреслау (ныне Вроцлав в Польше). Его труды по топологии оказали значительное влияние на математику XX века. Один ученик Хопфа писал: «Хопф с безошибочным инстинктом выбирал глубокие проблемы и давал им возможность созреть. А затем представлял целостное решение, демонстрирующее новые мысли и методы»177.

Рис. 19.13. Хайнц Хопф

В своих мемуарах Хопф отмечает, что поворотным моментом в его математической карьере стал двухнедельный период в 1917 году — отпуск с военной службы во время Первой мировой войны. Он сидел на занятиях в университете Бреслау во время изложения топологической теоремы Брауэра. После службы на Западном фронте, где он был дважды ранен и получил Железный крест, он возобновил изучение математики в университете Бреслау. Его математическая карьера заводила его в несколько немецких университетов, Принстонский университет и, наконец, в Швейцарскую высшую техническую школу (ETH) в Цюрихе.

Через два года после его приезда в Швейцарию к власти в Германии пришла нацистская партия. Хотя он воспитывался в протестантской вере, его отец был евреем. Соломон Лефшец и другие принстонские ученые убеждали Хопфа вернуться, но они с женой отказались покидать Швейцарию, а старались помогать беженцам из Германии. В конце концов, немецкое правительство пригрозило лишить его гражданства в случае невозвращения. С неохотой он отказался от немецкого гражданства и принял швейцарское. После войны Хопф остался в Швейцарии и усердно работал над восстановлением математики в Германии.

Из многочисленных важных вкладов Хопфа в топологию одним из первых стала топология векторных полей. Начиная с 1925 года он опубликовал серию статей, обобщающих теорему Пуанкаре об индексе178. Мы сформулировали теорему Пуанкаре-Хопфа для поверхностей, но Хопф доказал, что она применима и к многомерным обобщениям поверхностей — многообразиям (мы еще поговорим о многообразиях в главе 22).

Хотя теорема Пуанкаре-Хопфа обычно формулируется для замкнутых поверхностей, математики открыли различные ее обобщения. Существует очень общий вариант для поверхностей с краем179, но мы сформулируем следующую более простую версию.

Теорема Пуанкаре-Хопфа для поверхностей с краем

Пусть на поверхности с краем S определено векторное поле с конечным числом нулей. Если векторное поле направлено внутрь на каждой компоненте края (или наружу на каждой компоненте края), то сумма индексов всех нулей равна эйлеровой характеристике поверхности χ(S).

Теорема о причесывании ежа неприменима к нашим головам, потому что волосистая часть головы человека топологически не является сферой — это диск. И действительно, в «зачесанных назад» прическах и «конских хвостах» волосы не торчат. Но у человека, подстриженного «ежиком», волосы часто растут в направлении от центра головы — вниз на затылке, к ушам по бокам и в сторону лица спереди. Поскольку это «волосяное» векторное поле направлено наружу вдоль края, то сумма индексов нулей должна быть равна χ(диск) = 1. Поэтому в каком-то месте головы должен быть вихор. У маленькой дочки автора (на голове у которой пока еще растет пушок) есть зачатки трех вихров, двух спиралей, закрученных наружу (все с индексом 1) и седло между ними (с индексом 0).

Теперь мы наметим доказательство теоремы Пуанкаре-Хопфа для поверхностей без края (его нетрудно модифицировать для поверхностей с краем). Доказательство