Начнем с тщательно выбранного разбиения поверхности. Сначала поместим каждый ноль векторного поля внутрь многоугольной грани, не содержащей других нулей. Эти грани могут иметь произвольную форму, с любым числом сторон, при условии что ни один вектор, начинающийся на ребре, не направлен параллельно ребру. То есть всякий вектор на границе должен указывать внутрь или наружу.

Сейчас мы имеем грани, охватывающие все нули векторного поля. Завершим разбиение, триангулировав оставшуюся часть поверхности. Это можно сделать как угодно, но, как и раньше, мы требуем, чтобы все векторы, начинающиеся на границах треугольников, были направлены внутрь или наружу, но не вдоль ребра (см. рис. 19.14).

Теперь поместим 1 в каждую вершину, –1 на каждое ребро и 1 — в центр каждой грани. Просуммировав эти числа по всей поверхности, мы получим V — E + F, или χ(S). Точнее, поскольку каждое ребро является общей границей двух граней, а векторное поле направлено внутрь одной из этих граней, будем располагать относящуюся к ребру –1 внутри той грани, в направлении которой указывает вектор. Аналогично каждая вершина расположена в точке схождения нескольких граней, но есть одна, внутрь которой указывает вектор. Поставим 1 именно в этой грани (см. рис. 19.14).

Рис. 19.14. Разбиение поверхности на грани, содержащие не более одного нуля, и соответствующая пометка вершин, ребер и граней

Сначала рассмотрим треугольные грани, не содержащие нулей векторного поля. Как показано на рис. 19.15, возможно всего два случая. Первый — когда векторы направлены внутрь на одном ребре и ни в одной вершине. Второй — когда векторы направлены внутрь на двух ребрах и на вершине между ними. В обоих случаях сумма 1 и –1 равна нулю. Поэтому эти треугольные грани не дают никакого вклада в эйлерову характеристику.

Рис. 19.15. Треугольники, не содержащие нулей, не дают никакого вклада в эйлерову характеристику

С другой стороны, вспомним, что для граней, содержащих нули, эту технику можно использовать для вычисления индекса. Таким образом, каждая грань, содержащая ноль, вносит в сумму вклад, равный индексу этого нуля. По теореме Пуанкаре-Хопфа, сумма всех 1 и –1 равна, с одной стороны, эйлеровой характеристике, а с другой — сумме индексов нулей.

Как уже было сказано, теорема Пуанкаре-Хопфа говорит о векторных полях, но поскольку векторные поля можно использовать для построения потоков, то ее можно интерпретировать так же, как теорему о неподвижной точке непрерывной динамической системы. В заключение этой главы мы упомянем еще одну знаменитую теорему о неподвижной точке.

Поток на поверхности — это математический способ описать непрерывное движение частиц. Теперь мы рассмотрим родственную, но совершенно иную ситуацию. Предположим, что вместо того чтобы течь, каждая точка на поверхности S перепрыгивает в новое положение. Математически это движение можно описать с помощью непрерывной функции f с областью определения S и областью значений S (говоря «непрерывная», мы просто имеем в виду, что близкие точки переходят в близкие). Первоначально точка имеет координату x, а затем перемещается в новую точку с координатой f (x). Как и в случае потоков, нас особенно интересуют точки, которые остаются на месте. Точка y на поверхности S называется неподвижной точкой f, если f (y) = y (см. рис. 19.16).

Рис. 19.16. Точка y является неподвижной точкой f, а x — нет

Пожалуй, самой знаменитой из всех теорем о неподвижной точке является теорема Брауэра. Она применима к непрерывной функции из n-мерного шара в него же. N-мерным шаром Вn называется множество всех точек n-мерного пространства, удаленных от начала координат на расстояние, не большее единицы. Иначе говоря, это множество точек, удовлетворяющих неравенству x21 + x22 +… + х2n+1 ≤ 1, или попросту — множество точек внутри и на поверхности (n — 1) — мерной сферы Sn-1. Свой результат Брауэр доказал для B3 1909 году181, а для Вn (n > 3) в 1912 году182.

Теорема Брауэра о неподвижной точке

Любая непрерывная функция из Вn в себя должна иметь неподвижную точку.

Рис. 19.17. Векторное поле для функции из В2 в себя

Интерпретировать эту замечательную теорему можно, например, следующим образом. Рассмотрим случай n = 2. B2 — это диск на плоскости, т. е. область, ограниченная единичной окружностью S1. Представим, что это столовая тарелка. Накроем ее листом бумаги, по размеру не меньшим тарелки, а затем отрежем свисающие части. Теперь возьмем бумагу, сомнем ее в комок (но не рвать!) и снова положим на тарелку. Теорема Брауэра утверждает, что на бумаге найдется точка, расположенная в точности против того места на тарелке, где была раньше. Такое же рассуждение показывает, что если проектировщик одноэтажного гипермаркета поместит его карту в любом месте на полу, то он сможет поставить на карте крестик, означающий «вы находитесь здесь».

Доказательство этой теоремы легко следует из теоремы Пуанкаре-Хопфа (ее варианта для поверхностей с краем). Мы будем рассматривать случай n = 2, но для больших n доказательство точно такое же. Начнем с функции f из B2 в себя. Определим на B2 векторное поле следующим образом: каждой точке x, принадлежащей B2, сопоставим вектор, начинающийся в x и заканчивающийся в f(x) (см. рис. 19.17). B2 — поверхность с краем, и все векторы, начинающиеся в точках края, направлены внутрь, поэтому условия теоремы Пуанкаре-Хопфа выполнены. Поскольку 'χ(B2) = 1 ≠ 0, векторное поле должно иметь хотя бы один ноль. Но нулевой вектор соответствует точке y, для которой f(y) = y. Иными словами, f должна иметь хотя бы одну неподвижную точку.

На самом деле теорема Брауэра применима к любому телу, гомеоморфному Bn. Кофе в чашке гомеоморфно B3. Как следует размешайте кофе в чашке (но не проливайте ни капли!) и подождите, пока оно снова успокоится. Тогда, по теореме Брауэра о неподвижной точке, найдется молекула кофе, находящаяся точно в том же месте, что и в самом начале.

В этой главе мы видели, что топология объекта, определяемая одной лишь характеристикой Эйлера, может влечь за собой глобальное поведение, которое, казалось бы, не имеет никакого отношения к глобальной топологии, — существование неподвижных точек у потоков и функций. В следующих двух главах мы увидим, что топология фигуры может определять также некоторые ее глобальные геометрические свойства.