Интеграл движения свободно движущегося тела совпадает с его кинетической энергией T, равной функции Лагранжа, при этом последняя в классической механике является однородной дифференцируемой и квадратичной по скорости функцией. При отсутствии внешнего воздействия на тело или систему тел интеграл движения, определяемый через неоднородную (по скорости) функцию Лагранжа, в принципе, также должен совпадать с кинетической энергией и быть равным функции Лагранжа.

Ни инвариантный интервал, ни время собственное в любой из двух указанных ранее форм его представления не являются функцией Лагранжа материальной точки, хотя и содержат необходимый для определения функции Лагранжа состав независимых переменных, поскольку они заданы не через независимые переменные, а через их изменения. Следовательно, либо инвариантный интервал и время собственное могут быть каким-то образом использованы для определения функции Лагранжа, либо лоренц-инвариантность является новым законом природы (и математики), опровергающим вышеуказанное утверждение о том, что наиболее общая формулировка закона движения механических систем основана на принципе наименьшего действия и задается с помощью функции Лагранжа.

Второе из данных предположений не может даже рассматриваться серьезно, так как в области механического движения принцип наименьшего действия может быть нарушен только в результате сознательных действий, чего от неживой природы ожидать не приходится. А вот первое предположение с той или иной степенью общепризнанности рассматривается в физике, и результаты этого рассмотрения будут проанализированы ниже.

Но прежде, чем это сделать, необходимо высказать несколько замечаний.

Поскольку в специальной теории относительности мы имеем дело с четырехмерным пространством, то необходимо определиться с тем, что можно называть механическим движением тел в таком пространстве. Так как движение определяется как изменение длины пути за промежуток времени, то для корректного определения движения необходимо существование независимого времени в дополнение к четырем координатам нашего пространства. Специальная теория относительности не предусматривает такой возможности, поскольку инвариантный интервал не является временем по определению, а время собственное прямо не используется для определения скорости перемещения тела по временной координате. Скорость же света, используемая в качестве множителя в выражении длины временной координаты, не является скоростью движения – это не векторная, а скалярная величина в определении длины временной координаты. Выбор именно данной величины был обусловлен ее размерностью и тем, что скорость света является величиной постоянной в разных инерциальных системах. Казалось бы, в связи с этими обстоятельствами частная производная по времени для четвертой (временной) координаты не может быть определена в принципе. И, следовательно, нахождение функции Лагранжа для четырехмерного пространства было бы невозможным. Но все дело в том, что принятое за базу для классических преобразований Лоренца выражение не зависит от количества координат в пространстве. Оно должно быть справедливым, как для трехмерного, так и для четырехмерного пространств. В этом случае время t является независимой переменной, используемой в специальной зависимости. И, учитывая однородность времени, а также постоянство скорости света, время собственное в этом случае можно использовать как независимое время четырехмерной системы координат. Однако это утверждение вовсе не означает, что скорость движения тела в четырехмерном пространстве действительно определена для случая движения по временной координате. Нами просто принято условие, удобное для определения длины единичного отрезка четвертой координаты без определения независимого параметра – времени для такой системы координат. А то, что время собственное не является независимым временем четырехмерной системы координат прямо вытекает из того, что при его использовании невозможно определить состояние покоя, то есть отсутствие движения по каждой из координатных осей этого четырехмерного пространства. Но введение понятия об инвариантном интервале позволяет рассматривать время собственное в качестве параметра, независимость которого исключается именно введением указанного интервала. Данные обстоятельства приводят к тому, что задача определения функции Лагранжа для движения механических систем в четырехмерном пространстве в конечном итоге может быть сведена к задаче нахождения этой функции для трехмерного пространства с независимым временем. Это прямо вытекает из условия равенства при состоянии покоя в лабораторной системе координат времени собственного и времени координатного, которое является независимым временем трехмерной системы координат, а также взаимозависимости координатных времен в различных системах отсчета. При этом то, что это независимое для трехмерного пространства время является параметром, определяющим одну из координат четырехмерного пространства и совпадающим в одном из случаев с временем собственным, должно учитываться при нахождении функции Лагранжа для трехмерного пространства.

В физической литературе описано множество попыток определить функцию Лагранжа механического движения применительно к лоренц-инвариантному интервалу, в соответствии с которыми функция Лагранжа может иметь вид , либо независимо от размерности систем координат. Оба эти выражения находятся в явном противоречии с определением кинетической энергии (см. [7], с.16, 18, 26), величина которой для свободно движущегося тела должна совпадать с функцией Лагранжа. Подчеркнем, что кинетическая энергия тела определяется в специальной теории относительности как , то есть существует полная несовместимость определения релятивистской функции Лагранжа с ее сущностным содержанием.

Кроме того, в специальной теории относительности делается ничем не обоснованное исключение из теории, требующей определения кинетической энергии свободно движущегося тела через интеграл его движения, а сама кинетическая энергия определяется по особым правилам, основанным на существовании лоренц-инвариантного соотношения для энергии и импульса (инвариантная масса):

Совершенно очевидно, что при таком определении кинетической энергии ни функция Лагранжа, ни выражение для интеграла движения не используются. Однако одновременно с полным отказом от принципов классической физики делается попытка представить дело так, как будто никакого отказа от этих принципов нет.

Попробуем все же рассмотреть данный вопрос без отказа от принципов классической теории.

Прежде всего, следует отметить, что определение функции Лагранжа является обязательным результатом решения задачи об особенностях наблюдения за движущимся телом при условии конечности скорости света. В классической механике принято считать функцию Лагранжа равной разности кинетической и потенциальных энергий, а полную энергию механической системы – сумме этих энергий. В связи с этим функция Лагранжа при отсутствии внешнего потенциального поля может быть только положительной величиной. Данное условие необходимо сохранить и при определении функции Лагранжа для четырехмерного пространства. С учетом указанных обстоятельств, а также замечаний относительно независимого времени четырехмерного пространства систему уравнений Эйлера-Лагранжа для свободной материальной точки можно записать в виде . Здесь и далее использовано обозначение . Функция Лагранжа свободно движущегося тела не зависит в явном виде ни от радиус-вектора, ни от времени. Кроме того, функция Лагранжа не может зависеть также от направления вектора скорости и является функцией его абсолютной величины, то есть должна быть функцией от квадрата скорости движения тела . Для четырехмерной системы координат,