Падуи нашли правильный додекаэдр этрусского происхождения и что ученым удалось обнаружить не менее 26 предметов в форме додекаэдра кельтского происхождения. Короче говоря, сложные геометрические узоры можно рисовать, и не обладая глубокими познаниями в геометрии. Отсутствие таких узоров доказывает лишь отсутствие интереса к ним. Возможно, древние геометры играли с кусочками дерева в форме правильных треугольников и квадратов и строили из них пространственные углы. Сочетание таких пространственных углов привело их к созданию правильных многогранников (за исключением додекаэдра). Основа пространственного угла, состоящая из пяти правильных треугольников, естественно, была бы правильным пятиугольником. Четыре пространственных пятиугольных угла, соединенные вместе, дали бы правильный додекаэдр.

Существуют вавилонские призмы на пятиугольной и даже семиугольной основе, но из-за этого мы не думаем приписывать вавилонским геометрам знание геометрической конструкции таких основ. Возможно, первый трактат о построении правильного семиугольника – это утерянный трактат Архимеда (III – 2 до н. э.), сохранившийся в арабской версии Сабита ибн Курры (IX – 2).

Египетская арифметика. Выше мы объяснили, что египтяне предпочитали так называемые аликвотные дроби, в которых числитель был равен 1; прочие дроби выражались посредством первых. Дроби такого более простого и предпочитаемого типа, например, 1/72, назывались «часть 72». Греки представляли себе такие дроби так же просто; 1/72 записывалась oβ' или oβ'' (как если бы мы писали 72''). У египтян имелись отдельные знаки для 1/2 и 2/3; то же наблюдается и у греков. Едва ли это совпадения. Более того, египетские следы можно разглядеть в греческой математике вплоть до начала Средневековья.

По мнению Пселла (XI – 2) – хотя, не скрою, он поздний свидетель – Анатолий и Диофант, жившие в Александрии в одно и то же время (III – 2), написали пособия по египетской системе вычислений. Два поздних математических папируса, «Мичиганский папирус» № 621 IV в. и «Ахмимский папирус» VI или VII в., а также коптский черепок (острак) из Вади-Сарга (близ Асьюта), относящийся к тому же периоду, содержат явные примеры египетских подсчетов. Более того, Птолемей (II – 1) и даже Прокл Диадох (V – 2), самый яркий философ и учитель своего времени и один из последних руководителей платоновской Академии, по-прежнему записывали дроби на египетский манер. Например, Прокл изображал 23/25 в виде 1/2 1/3 1/15 1/50.

Минойская арифметика. Наши знания о минойской математике очень ограниченны, потому что минойские надписи по сей день не расшифрованы. Однако цифры, написанные на многих табличках, удалось интерпретировать. Минойские цифры отличались от египетских, однако система счисления была определенно египетской. Обе системы были десятеричными, но минойские знаки остановились на тысячах или десятках тысяч, в то время как египтяне дошли до миллионов. Самой любопытной чертой минойских расчетов стала система процентов, поскольку суммы, упоминаемые на многих табличках, располагались так, чтобы в результате составить 100. Например, на одной табличке две суммы верхнего ряда 57 + 23 равны 80; в нижнем ряду находим 20 со знаком «трона». Означает ли это, что царская доля составляла 20 %? Судя по всему, критяне разработали сложную систему регистрации и ведения счетов; к расчетам они относились так же деловито и трепетно, как мы (рис. 29 и 30).

Рис. 29. Минойская арифметика: таблицы вычисления процентов

Рис. 30. Минойская арифметика: пример знаков сложения

Расшифровка минойского письма, возможно, даст нам больше сведений об их математических или научных идеях, независимо от того, оригинальны они или заимствованы у египтян. Во всяком случае, египетские представления могли достичь (и достигли) Греции также и по другим каналам.

Египетская геометрия. Изобретение геометрии и ее передача в Грецию объяснялись Геродотом часто цитируемыми словами: «Этот царь, как передавали жрецы, также разделил землю между всеми жителями и дал каждому по квадратному участку равной величины. От этого царь стал получать доходы, повелев взимать ежегодно поземельную подать. Если река отрывала у кого-нибудь часть его участка, то владелец мог прийти и объявить царю о случившемся. А царь посылал людей удостовериться в этом и измерить, насколько уменьшился участок, для того чтобы владелец уплачивал подать соразмерно величине оставшегося надела. Мне думается, что при этом-то и было изобретено землемерное искусство и затем перенесено в Элладу. Ведь „полос“ и „гномон“, так же как и деление дня на 12 частей, эллины заимствовали от вавилонян»[10].

Конечно, геометрию изобрели не только в Египте, но и в других местах, так как вскоре каждый цивилизованный народ осознал свою потребность в ней. Египетская версия вполне правдоподобна; ее повторили Страбон (I – 2 до н. э.) и Прокл (V – 2). Сократ в «Федре» делает более общее заявление: «Так вот, я слышал, что близ египетского Навкратиса родился один из древних тамошних богов, которому посвящена птица, называемая ибисом. А самому божеству имя было Тевт (Тот. – Авт.). Он первый изобрел число, счет, геометрию, астрономию, вдобавок игру в шашки и в кости, а также и письмена».

Далее Сократ объясняет, что самое важное из этих изобретений – изобретение grammata, то есть письма. И сказал Тот египетскому фараону: «Эта наука, царь, сделает египтян более мудрыми и памятливыми, так как найдено средство для памяти и мудрости»[11]. Однако фараон не поверил и боялся, что изобретение письма повредит память, а не улучшит ее и люди будут читать, не понимая. Вот один из первых критических доводов на ученость и мудрость. Подобная критика время от времени повторялась при внедрении всех крупных новшеств.

Упоминания о том, что математику и физику придумали древние египтяне, встречаются во многих фрагментах произведений ионических философов. Мы еще к ним вернемся, когда будем говорить о каждом из них. Египет в целом считался древнегреческими писателями колыбелью науки. Греки, обладавшие интеллектуальными амбициями, старались посетить Египет и провести там как можно больше времени, беседуя с учеными и жрецами. Возможно, их постигало разочарование, потому что их надежды оказывались напрасными и потому что жрецы не могли или не хотели передавать знания неверным и варварам. Тем не менее греческие путешественники что-то узнавали, их замыслы конкретизировались и оттачивались. Что ученик получает от учителя? Главным образом вдохновение и подсказки; настоящие знания каждый человек должен завоевать для себя сам. Что же касается собственно мудрости, если в человеке ее нет, откуда она возьмется?

Самая любопытная отсылка на египетскую математику принадлежит Демокриту Абдерскому (V в. до н. э.). К сожалению, его слова переданы в интерпретации очень позднего комментатора, одного из отцов