Умножение на 9

Наряду со способом быстрого умножения на 11 (поскольку 11 на 1 больше 10) имеется способ быстрого умножения на 9 (поскольку 9 на 1 меньше 10). В данном способе, вместо того чтобы прибавлять к каждой цифре цифру справа, мы вычитаем каждую цифру из цифры справа.

Поскольку вычитание сопряжено с переносом единиц разрядов, можно использовать следующий прием, ускоряющий вычисления. Сначала вычитаем цифру единиц из 10, а затем каждую последующую цифру вычитаем из 9 и прибавляем соседнюю справа цифру. Чтобы получить первую слева цифру ответа (самого старшего разряда), вычитаем 1 из первой цифры числа, умножаемого на 9.

Например:

254 х 9 =

Вычитая 4 из 10, получаем 6. Вычитание 5 из 9 дает 4 и плюс 4 (соседняя справа цифра) — получаем 8 (86). 9 минус 2 равно 7 и плюс 5 дает 12. Записываем 2, 1 переносим (286).

Вычитаем 1 из первой цифры (2) и прибавляем 1, которое перенесли, получаем в ответе 2. Ответ: 2286.

254 х 9 = 2286 ОТВЕТ

Деление на 9

Существует простой способ деления любого числа на 9.

Чтобы разделить 42 на 9, берем цифру десятков в качестве целой части ответа, а в качестве остатка берем сумму цифр. 4 + 2 = 6 (остаток).

4 r6 ОТВЕТ

Рассмотрим другой пример:

34: 9 =

Цифра десятков равняется 3, поэтому записываем 3 в качестве целой части ответа.

3 + 4 = 7

3 r7 ОТВЕТ

А как насчет 71?

Цифра десятков равна…

Остаток равен.

Ответ: 7 с остатком 8.

Попробуйте решить следующие примеры самостоятельно:

а) 52: 9 = __; б) 33: 9 = __; в) 61: 9 = __; г) 44: 9 = __

Ответы:

а) 5 r7; б) 3 r6; в) 6 r7; г) 4 r8

Легко, не так ли? Но как поступить, спросите вы, если надо разделить 46 на 9? Проблема в том, что 4 и 6 в сумме дают 10. Что делать?

Попробуем разобраться:

46: 9 =

Цифра десятков — 4, поэтому целой частью ответа является 4.

4 плюс 6 дает 10 — остаток согласно нашему методу. Полученный остаток больше 9, поэтому налицо некая ошибка. Нельзя иметь остаток больше делителя. 10 при делении на 9 дает 1 с остатком 1. Цифра десятков равна 1, плюс 1 + 0 = 1 (остаток).

Прибавим полученную целую часть (1) к предыдущей целой части (4) и получим окончательную целую часть 5, а остатком будет 1.

Попробуем решить другой пример:

75: 9 =

Цифра десятков равна 7.

7 плюс 5 дает 12 (остаток). Остаток не должен превышать делитель, поэтому делим полученный промежуточный остаток на делитель.

12: 9 =

Цифра десятков равна 1. Поэтому можно увеличить целую часть искомого ответа на 1.

7 + 1 = 8

1 + 2 = 3 остаток

8 r3 ОТВЕТ

Попробуйте решить следующие примеры самостоятельно:

а) 85: 9 = __; б) 37: 9 = __; в) 28: 9 = __; г) 57: 9 = __

Ответы:

а) 9 r4; б) 4 r1; в) 3 r1; г) 6 r3

Умножение с помощью множителей числа

Очень часто, когда вам необходимо перемножить два числа, вычисление удается упростить, если имеется возможность удвоить одно число и уменьшить в два раза другое (такой метод получил название «удвой и умножь»). На самом деле в этом случае речь идет об умножении с помощью множителей перемножаемых чисел.

Простой способ умножить 3 на 14 состоит в том, чтобы удвоить 3 и взять половину 14, получая при этом 6 х 7. В чем здесь секрет? Дело в том, что вы разбиваете 14 на 2 и 7, после чего удваиваете 3 (3 х 2) и затем умножаете на 7, то есть на половину от 14.

3 х 14 = 3 х (2 х 7) = 6 х 7 = 42

Чтобы умножить 4 на 22, умножим 4 на 2, получая 8, а затем 8 на 11. (При этом мы удваиваем 4 и берем половину от 22.) На самом деле мы просто использовали множители числа 22 (2 и 11), чтобы упростить вычисления. Когда бы вам ни приходилось перемножать числа, одно из которых значительно меньше другого, пробуйте применять данный принцип для упрощения расчетов.

Скажем, вам надо умножить 14 на 24. Возьмем 10 в качестве опорного числа и выполним вычисление как обычно.

Складывая накрест, получаем 28 (14 + 14 или 24 + 4). Умножим 28 на опорное число 10 и получим 280.

Теперь нам необходимо перемножить числа в кружках: 4 х 14. Мы могли бы сначала умножить 4 на 10, получая 40, а затем прибавить 4 х 4 = 16, что даст нам 56.

Или же можно удвоить и взять половину.

14 равно 2 х 7, а произведение 4 на 2 равно 8. Таким образом, 4 х 14 — это то же самое, что и 8 х 7. 8 на 7 равно 56.

Мы удвоили 4 и взяли половину 14, получив в результате 8 х 7.

Наш промежуточный результат (280) в сумме с 56 дает 336.

Решите самостоятельно следующие примеры:

а) 4 х 18 = __; б) 6 х 24 = __; в) 48 х 180 = __

Ответы:

а) 72; б) 144; в) 8640

(Примеры преобразуются в следующие: 8 х 9, 12 х 12 и 96 х 90.)

Немного попрактиковавшись, вы научитесь легко распознавать ситуации, когда можно успешно использовать подобные приемы.

Деление с помощью множителей числа

Если у вас имеется 100-миллиграммовая бутылочка с лекарством и вам нужно принимать по две дозы по 7,5 миллиграмма в день, на сколько дней хватит бутылочки?

Казалось бы, разделить 100 на 7,5 без калькулятора не так-то просто.

Попробуем поступить иначе. Если надо ежедневно принимать по две дозы, то речь идет о 15 миллиграммах в день. Однако разделить 100 на 15 без остатка не получится.

Есть более простой способ решить эту задачу. Если мы удвоим оба числа, ответ от этого не изменится. Два раза по 100, деленное на 15, — это то же, что и 200, деленное на 30.

Чтобы разделить на 30, разделим сначала на 10, а затем на 3.

200: 10 = 20

20: 3 = 62/3