√54756 =

Во-первых, разобьем попарно цифры и получим три пары цифр. Искомым корнем будет трехзначное число.

Теперь оценим приближенное значение корня из числа, образованного цифрами из первой пары. Речь в данном случае идет об одном числе: 5. В качестве приближения для корня из 5 берем 2 (2 х 2 = 4).

Запишем 2 в качестве первой цифры нашего ответа. Удвоим ее, чтобы получить делитель (2 х 2 = 4).

Теперь наше решение выглядит так:

Возведем в квадрат первую цифру ответа, запишем результат внизу и вычтем его из числа, составленного из цифр первой пары:

22 = 4

5 – 4 = 1

Переносим 1 к следующей цифре. Получаем новое рабочее число 14.

Разделим 14 на наш делитель 4. Ответом будет 3 с остатком 2 (3 х 4 = 12). Переносим остаток к следующей цифре. Наше следующее рабочее число — 27.

Выполняем перекрестное умножение с цифрами ответа, за исключением первой, то есть с цифрой 3.

32 = 9

Вычтем результат из рабочего числа:

27 — 9 = 18

Разделим 18 на 4 и получим в ответе 4 с остатком 2. Таким образом, 4 является последней цифрой ответа. Все другие цифры, которые мы теперь будем получать, относятся к дробной, то есть после десятичной запятой, части ответа. Переносим остаток 2.

Наше очередное рабочее число — 25.

Выполняем перекрестное умножение с цифрами ответа, за исключением первой:

4 х 3 = 12

12 х 2 = 24

Вычитаем 24 из рабочего числа (25) и получаем в результате 1. Делим 1 на 4. Получаем в ответе 0 с остатком 1. Переносим 1 к последней цифре. Теперь нашим рабочим числом является 16.

Выполняем перекрестное умножение:

0 х 3 = 0

42 = 16

Вычитаем 16 из нашего рабочего числа и получаем в ответе 0. Остатка нет.

И в данном примере 54756 является точным квадратом. Его квадратный корень — 234.

Если бы мы получили остаток, то просто перенесли бы его к следующему числу и продолжили процесс до того количества знаков после запятой, которое нам требуется.

Сравнение методов

Каким был бы наш ответ, если бы мы оценивали приближенное значение корня посредством метода, описанного в предыдущей главе?

Определяем 2 в качестве оценки для первой цифры ответа. Следующие две цифры автоматически становятся нулями. Первой оценкой искомого корня является 200.

Разделим 54756 на 200. Сначала разделим на 100, а потом на 2.

54756: 100 = 547,56

547: 2 = 273

Находим среднее для 200 и 273, получим 236. Мы могли бы округлить в сторону уменьшения до 235 — на единицу больше, чем истинный ответ, что соответствует ошибке в размере примерно 0,5 процента. Такая точность вполне приемлема для большинства ситуаций. Однако, если вы желаете получить точное значение корня, тогда метод перекрестного умножения является самым простым из всех известных мне.

Попробуйте решить следующие примеры самостоятельно:

а) √3249 = __; б) √2116 = __; в) √103041 = __

Ответы:

а) 57; б) 46;

Решим пример в) вместе:

√103041 =

Разобьем цифры числа на пары:

Есть три пары цифр, поэтому и в ответе будет три цифры в целой части.

Вычисляем приближенное значение квадратного корня из числа, образованного из цифр первой пары, то есть из числа 10. 3 на 3–9. 4 не годится, потому что 4 в квадрате превышает 10. Значит, первой цифрой ответа будет 3. Таким образом, нашим делителем является 6.

3 в квадрате дает 9. Поделив 10 на 9, получаем остаток 1. Переносим его к следующей цифре. Это дает нам новое рабочее число — 13.

Делим 13 на делитель 6:

13: 6 = 2 r1

Следующая цифра ответа — 2, а рабочее число — 10.

Выполняем перекрестное умножение с цифрой 2 и получаем 4. Вычтем 4 из рабочего числа:

10 — 4 = 6

Делим 6 на 6.

6: 6 = 1

1 — это последняя цифра целой части нашего ответа. У нас нет остатка для переноса.

Нашим новым рабочим числом будет 4. Выполняем перекрестное умножение. Такое умножение для числа 21 дает в ответе 4 (2 х 1 = 2, 2 х 2 = 4). Вычтем 4 из 4 и получим в результате 0.

Новым рабочим числом является 1.

Выполняем перекрестное умножение:

0 х 2 = 0

12 = 1

Вычтем 1 из 1. Нашим последним результатом является 0, поэтому 103041 — точный квадрат. Квадратный корень из этого числа равен 321.

Немного попрактиковавшись, вы сможете выполнять все вышеприведенные вычисления в уме, что произведет большое впечатление на окружающих.

Вопрос читателя

Один читатель спросил меня, как бы я находил квадратный корень из числа 2401.

После разбивки цифр на пары задача выглядит следующим образом:

Мы имеем две пары цифр, поэтому в ответе будут две цифры.

Читатель спрашивает: «Когда я беру 4 в качестве приближения квадратного корня из 24 (4 х 4 = 16), то получаю в качестве делителя 8, а затем, вычитая 16 из 24, получаю 8, которое после переноса к следующей цифре 0 дает 80, а 80 делится на 8 десять раз. Что я делаю не так?»

Есть небольшой нюанс. Поскольку 10 не является цифрой, мы уменьшаем 10 на 1, получая в качестве второй цифры ответа 9, а также остаток 8, который мы переносим к следующей цифре 1, имея в результате 81.

Выполняем перекрестное умножение с цифрой 9 (9 в квадрате), что дает в ответе 81. Вычтем 81 из текущего рабочего числа (81).

81 – 81 = 0

Итак, мы имеем нулевой остаток. Ответ (49) является точным квадратным корнем.

Затем читатель спросил, как бы я вычислял следующий квадратный корень:

√23222761 =

Разбиваем цифры на пары и получаем: