гавань он встретил Теэтета, раненного в битве. Он сражался при Коринфе на стороне афинян; его несли назад, в Афины. Теэтет страдал от ран и дизентерии и был скорее мертв, чем жив. Собеседники восхваляют его мужество и гениальность, и Евклид вспоминает записанный им диалог, который зачитывает им вслух слуга. Таким образом, «Теэтет» – это диалог внутри диалога. Поскольку Платон был знаком с Теэтетом, данному им описанию внешности последнего можно верить. Феодор знакомит его с Сократом следующими словами: «Да, Сократ, мне не стыдно сказать, а тебе, я думаю, услышать, какого подростка встретил я среди ваших граждан. И если бы он был хорош собой, то я, пожалуй, побоялся бы говорить слишком пылко, чтобы не показалось, будто я неравнодушен к нему: нет, в самом деле, не укоряй меня – он не то чтобы прекрасной наружности, и скорее даже похож на тебя своим вздернутым носом и глазами навыкате, разве что черты эти у него не так выражены»[123].

В конце диалога Сократ замечает, что «вздернутый нос» – характерная черта Теэтета. Таким образом, даже если мы не очень хорошо знаем Теэтета, мы можем представить его себе при помощи воображения.

Из диалога становится ясно, что Теэтет был не только математиком, но и философом, который различал числа, воспринимаемые чувствами, и числа, постигаемые разумом. Это не очень удивительно, так как каждый математик того времени был философом.

Более того, можно быть уверенными в том, что Теэтет был пифагорейцем, потому что оба достижения, которыми он прославился, пифагорейские – теория несоизмеримых величин и теория геометрических тел правильной формы.

Возможно, интерес к несоизмеримым величинам появился у Теэтета под влиянием его учителя Феодора Киренского. Теэтет продолжил развивать эту теорию; он ввел различия между видами иррациональных чисел (квадратные корни, высшие степени, их суммы, произведения и т. д.), которые описаны в книге X «Начал» Евклида.

Что касается теории правильных многогранников, считалось, что Теэтет открыл восьмигранник и двадцатигранник, а также первым написал о том, что правильных многогранников может быть всего пять. Первая часть данного утверждения не может быть верной по определению. Ранние пифагорейцы знали и восьмигранник, и двадцатигранник; возможно, им удалось построить их с помощью 8 или 20 равносторонних треугольников (вырезанных из кожи, дерева или камня). То есть, вращая 3, 4 или 5 равносторонних треугольников (равного размера) вокруг общей вершины, они сумели построить правильные многогранники, а складывая 4, 6 или 12 таких тел, они сооружали геометрические тела с 4, 8 и 20 гранями. Это одно, но геометрическое построение – совсем другое дело. И третье – осознание, что правильных многогранников пять, и больше не может быть.

Теэтет первым написал о пяти правильных многогранниках (о чем нам известно из записи в позднейшей энциклопедии «Суда» (после 970 г.), которую можно считать правдоподобной). Каков объем его творчества? В случае с иррациональными числами ему приписывали некоторую часть X книги «Начал»; в случае с многогранниками ему можно приписать такую же неопределенную часть книги XIII. Для него было естественно заниматься правильными многогранниками, математическое построение которых подразумевало иррациональные числа. Если Теэтет писал о пяти многогранниках, значит, он знал: больше не может быть. Мог ли он это знать? Почему нет? В конце концов, доказательство, приведенное Евклидом, достаточно простое, более того, оно настолько простое, что мы можем себе позволить привести его здесь (однако я перескажу его своими словами для большей ясности).

Может быть только пять правильных выпуклых многогранников.

1. В каждом пространственном угле сумма плоских углов меньше, чем сумма четырех прямых углов. Максимума (четыре прямых угла) можно достичь, только если пространственный угол полностью расплющить вокруг его вершины, но в таком случае пространственный угол перестанет существовать.

2. Сначала рассмотрим случай, когда грани многогранника – равносторонние треугольники. Поскольку внутренний угол равностороннего треугольника равен 60°:

а) три таких угла дадут в развертке 180°. Если теперь склеить развертку в многогранный угол, получится тетраэдр, или пирамида (4 правильные треугольные грани);

б) если добавить к развертке вершины еще один треугольник, в сумме получится 240°. Это развертка вершины октаэдра (8 граней);

в) добавление пятого треугольника даст угол 300° – мы получаем развертку вершины икосаэдра (20 граней).

(Если же добавить еще один, шестой треугольник, сумма углов будет равной 360° – такая развертка, очевидно, не может соответствовать ни одному выпуклому многограннику.)

3. Перейдем к квадратным граням. Развертка из трех квадратных граней имеет угол 3 × 90° = 270° – получается вершина куба, который также называют гексаэдром. Добавление еще одного квадрата увеличит угол до 360° – этой развертке уже не соответствует никакой выпуклый многогранник.

4. Три пятиугольные грани дают угол развертки 3 × 72° = 216° – вершина додекаэдра. Если добавить еще один пятиугольник, получим больше 360°.

5. Для шестиугольников уже три грани дают угол развертки 3 × 120° = 360°, поэтому правильного выпуклого многогранника с шестиугольными гранями не существует. Если же грань имеет еще больше углов, то развертка будет иметь еще больший угол. Значит, правильных выпуклых многогранников с гранями, имеющими шесть и более углов, не существует.

6. Таким образом, существует лишь пять выпуклых правильных многогранников, имеющих соответственно 4, 6, 8, 12, 20 равных граней.

Необходимо было добавить в начало доказательства слово «выпуклый», потому что позже открыли существование невыпуклых правильных многогранников, которые называют звездчатыми; они соотносятся с выпуклыми многогранниками примерно как пентаграммы с пятиугольниками. В 1810 г. Л. Пуансо (1777–1859) открыл четыре звездчатых многогранника, а именно три додекаэдра и один икосаэдр; в 1813 г. О. Гоши (1789–1857) доказал, что эти девять многогранников составляют все множество правильных многогранников; его доказательство, точное, но довольно трудное, позже упростил Ж. Бертран (1822–1900). Таким образом, достаточно взять пять пифагорейских многогранников и рассмотреть, какие еще правильные многогранники можно получить, по-разному сгруппировав их вершины.

Возвращаясь к пяти выпуклым многогранникам, открытие (независимо от того, сделал его Теэтет или кто-то другой), что их может быть только пять, наверняка удивило и поразило современников. К такому выводу не способно было подготовить изучение многоугольников, потому что количество правильных многоугольников бесконечно. Если есть правильный многоугольник с п сторонами, можно без труда построить другие со сторонами, равными 2/7, 4/7 и т. д. Странно переходить от бесконечности многоугольников к очень маленькой группе из пяти многогранников. Такое необычайное и неожиданное ограничение казалось Платону математической тайной, которая требовала некоторого философского истолкования. Если правильных многогранников может быть всего пять, каждое из этих пяти тел (позже получивших название платоновских) должно иметь какое-то определенное значение. Они не могут быть связаны с семью планетами. Платон вспомнил о пяти стихиях; в таком случае пятый многогранник должен представлять