δ – среднеквадратическое отклонение значения остатка денежных средств на конец рабочего дня.

Правило трех сигм (3δ) предполагает, что с вероятностью не менее чем 99,7 % все значения нормально распределенной случайной величины лежат в интервале [x– – 3δ; x– – 3δ]. Графически использование правила трех сигм с целью контроля значимости отклонений показано на рис. 2.11.

Оценивая существенность отклонения фактических остатков денежных средств от их средней величины, нужно руководствоваться следующим:

● отклонения нормальны, если разница между фактическим значением и средним значением остатка денежных средств за исследуемый период не превышает значения среднеквадратического отклонения;

● отклонения не существенны, если разница между фактическим значением и средним значением остатка денежных средств за исследуемый период находится в интервале от одного до двух среднеквадратических отклонений;

● отклонение существенно и требует вмешательства, если расхождение фактического значения и среднего значения остатка денежных средств за исследуемый период в два раза превышает значение среднеквадратического отклонения.

Для анализа поведения остатка денежных средств на счете помимо уже используемых статистических показателей математического ожидания и стандартного отклонения можно использовать и другие: медиану, первый и третий квартили.

Медиана (от лат. mediāna – середина) – это такое число выборки, при котором ровно половина элементов выборки больше него, а другая половина меньше него. С точки зрения поведения случайной величины медианой является такое число, при котором вероятность получить значение случайной величины справа от него равна вероятности получить значение слева. Можно также сказать, что медиана – это 50-й персентиль, 0,5-й квантиль или второй квартиль выборки.

Квантиль в статистике – значение, которое заданная случайная величина не превышает с фиксированной вероятностью. Принято выделять два значения квантиля:

● 0,25-квантиль называется также первым (или нижним) квартилем (от лат. quarta – четверть);

● 0,75-квантиль называется третьим (или верхним) квартилем.

Разность между третьим и первым квартилями называется интерквартильным размахом (Interquartile range). Он служит характеристикой разброса распределения величины и является неким аналогом дисперсии. Медиана и интерквартильный размах могут быть использованы вместо математического ожидания и дисперсии в случае распределений с большими выбросами (хвостами) либо при невозможности вычисления последних.

Для расчета величины первого и третьего квартиля можно воспользоваться функцией MS Excel:

КВАРТИЛЬ.ИСКЛ(диапазон; номер квартиля).

При этом номер квартиля выставляется равным 1 или 3, в зависимости от того, какой квартиль рассчитывается.

В табл. 13 приведены исходные данные, характеризующие поведение остатка денежных средств за 110 рабочих дней, и проведен расчет ключевых статистических показателей, описанных выше.

Визуализируем полученные границы колебания остатка денежных средств, используя точечную диаграмму (рис. 2.12). График свидетельствует о том, что бо́льшая часть значений остатка на конец дня попадает в диапазон одного среднеквадратического отклонения, что можно охарактеризовать как стабильное поведение. Более 95 % всех значений попало в диапазон двух среднеквадратических отклонений. Лишь дважды за исследуемый период у компании имели место экстраординарные поступления, которые вышли за границы трех среднеквадратических отклонений. Действия менеджмента по балансированию притоков и оттоков денежных средств можно охарактеризовать как достаточно жесткие с точки зрения контроля оттоков: большая часть значений, находящихся ниже среднего остатка, не превышает отклонения в пределах одной сигмы, а значения, превышающие это отклонение, расположены близко к ее границе. Иными словами, менеджмент компании, используя различные инструменты (перенос сроков платежей, отказ от отдельных платежей в текущем периоде, поэтапная оплата и др.), не допускает чрезмерных оттоков.

На рис. 2.13 поверх визуализации метода трех сигм наложены значения медианы и квартилей. Эти величины наряду со значениями среднеквадратических отклонений можно использовать для обоснования величины неснижаемого остатка или максимального остатка. Представим их несколько иначе (рис. 2.14) и сформулируем определенные действия для менеджмента по управлению остатком денежных средств.

Так, в соответствии с проведенными расчетами минимальный остаток средств должен составлять 203 503 руб., и с вероятностью 95 % фактический остаток не опустится ниже этой цифры. Вместе с тем данная нижняя граница реально может быть поднята до уровня x– – δ (2 068 426 руб.) или его округленного значения (2 млн руб.). Тогда при планировании платежей на день менеджмент компании должен исходить из необходимости обеспечивать данный неснижаемый остаток. По договоренности с обслуживающим банком на него могут начисляться проценты, а в случае экстраординарных платежей у компании есть гарантированный запас ликвидности. При ужесточении финансовой политики размер неснижаемого остатка может быть привязан к величине первого квартиля (2 892 749 руб.).

Аналогичным образом следует обосновать величину максимального остатка средств на счете. Такого рода границами для него могут выступать уровни x– + 2δ, x– + δ или величина третьего квартиля. Соответственно, чем ближе к среднему значению устанавливается контрольный показатель, тем более жесткой должна быть политика. Наиболее оправданным в рассмотренном случае представляется уровень x– + δ (7 851 132 руб.) или его округленное значение (8 млн руб.).

Накопленные на счете компании средства свыше этой величины должны размещаться на депозит. В моей практике такого рода размещения проводились на еженедельной основе. Этот срок позволял обеспечивать минимальный уровень доходности (при этом спред доходности ко вкладам более длительного срока размещения был не очень значительным), использовать накопленные средства для проведения крупных платежей без существенного переноса сроков, наконец, накапливать операционный ресурс для осуществления будущих инвестиций.

Если необходимо оценить минимальный остаток за более долгий промежуток времени, найденное значение корректируется на требуемый временной период:

ДСmint = ДСmin × √N,

где N – временной горизонт в N дней.

Величину минимального остатка можно оценить, базируясь на данных о прогнозных значениях остатка, полученных методом трендового анализа, в основе которого лежит построение уравнения регрессии. Однако в целях получения более объективных результатов найденные прогнозные значения величин остатка денежных средств необходимо корректировать на индекс сезонности соответствующего периода:

ДСTR = ДСn+1forecast × Is

ДСn+1forecast = a × Tn+1 + b

где Is – индекс сезонности для i-го периода;

a и b – коэффициенты уравнения регрессии, определяющиеся методом наименьших квадратов:

Алгоритм расчета минимального остатка выглядит следующим образом.

1. На основе имеющихся ретроспективных данных о величинах остатка денежных средств за предыдущие периоды строим уравнение регрессии, где в качестве Т выступает порядковый номер рассматриваемого периода.

2. С учетом полученных прогнозных данных на предстоящий