До середины 1920-х годов гомологии описывались в терминах чисел Бетти и коэффициентов зацепления. Понадобилась алгебраист Нётер, чтобы понять, что гомологии обладают гораздо более богатой структурой. Она выделила ключевую особенность гомологии — способность складывать и вычитать циклы. Сконцентрировавшись на этой арифметической операции, она заметила, что гомология — частный случай алгебраического объекта, называемого группой, и что правильный взгляд на гомологию дают группы Бетти, или группы гомологий, как их теперь называют. В своей автобиографии Павел Александров писал: «Вспоминаю обед у Брауэра в честь Эмми Нётер, во время которого гостья изложила определение групп Бетти-комплексов, вскоре получившее всеобщее распространение и совершенно преобразившее всю топологию»212.

Рис. 23.8. Эмми Нётер

Совершенно неожиданно топологам оказался доступен во всех отношениях новый инструментарий. В их распоряжении оказались все методы и теоремы теории групп. Мощные теоремы стало возможно доказывать, не изобретая колесо. Числа Бетти и коэффициенты зацепления возникали естественным способом, а инвариантность характеристики Эйлера-Пуанкаре получила простое доказательство. В надгробном слове Нётер Александров писал:

В те дни никому не приходило в голову строить комбинаторную топологию иначе, чем с помощью теории… групп; тем больше оснований отдать должное Эмми Нётер, которая первой предложила идею такого построения. В то же время она заметила, каким простым и очевидным оказывается доказательство формулы Эйлера-Пуанкаре, если систематически пользоваться группами Бетти213.

В очередной раз мы видим, какие мощные результаты дает соединение различных ветвей математики. Декарт использовал анализ, чтобы понять геометрию. Риман и Пуанкаре применили топологию, чтобы понять анализ. Гаусс и Бонне воспользовались топологией, чтобы понять геометрию. А теперь топологи вольны использовать алгебру, чтобы понять топологию. Такое взаимное обогащение чрезвычайно плодотворно.

Включение алгебры в топологию настолько важно, что вся эта область топологии — практически вся топология, которую мы обсуждали в этой книге, — теперь называется алгебраической топологией. За десятилетия после работы Пуанкаре алгебраическая топология вышла за пределы групп гомологий и включила многие другие алгебраические структуры. В наши дни большинство топологов занимаются алгебраической топологией.

Приложения к главе

204. Hardy (1992), 85.

205. цитируется по Dieudonne (1975).

206. Poincare (1895).

207. Poincare (1899); Poincare (1900); Poincare (1902a); Poincare (1902b); Poincare (1904).

208. Dieudonne (1989), 17.

209. Heinrich Tietze (1880–1964), цитируется по James (2001).

210. Poincare (1895).

211. Poincare (1895), цитируется по Sarkaria (1999).

212. цитируется по James (1999).

213. Там же.

Эпилог

Вопрос на миллион долларов

Если посмотреть на математику должным образом, то окажется, что она обладает не только истиной, но и высшей красотой — красотой холодной и суровой, подобной красоте скульптуры, не обращенной ни к какой стороне нашей слабой натуры, лишенной украшений живописи или музыки, и тем не менее утонченно чистой и способной к строгому совершенству, свойственному лишь величайшим произведениям искусства.

— Бертран Рассел, «Изучение математики»214

В XX веке топология стала одним из столпов математики, заняв место рядом с алгеброй и анализом. Многие математики, не считающие себя топологами, используют топологию в повседневной работе. Это неизбежно. Сегодня аспиранты математических специальностей первого года обучения обязаны пройти годичный курс топологии.

Один из способов измерить важность области науки — посмотреть, какие награды вручаются за достижения в этой области. Нобелевских премий по математике не существует, но есть эквивалент — филдсовская премия. Филдсовскую премию вручают раз в четыре года, начиная с 1936 года (за исключением Второй мировой войны). На каждой церемонии медали вручаются не более чем четырем математикам не старше сорока лет, внесшим выдающийся вклад в математику. Из сорока восьми лауреатов примерно треть была отмечена за работы по топологии, а еще большее число — за вклад в смежные области.

В связи с одной конкретной топологической проблемой было вручено целых три филдсовских премии. Это одна из самых знаменитых нерешенных задач XX века — настолько важная и трудная, что математику, решившему ее, обещана награда 1 миллион долларов. Называется эта проблема гипотезой Пуанкаре.

Теорема классификации поверхностей — одна из самых элегантных теорем во всей математике. Она утверждает, что любая поверхность однозначно определяется ориентируемостью, эйлеровой характеристикой и числом компонент края. Понятно, что было бы хорошо иметь подобную теорему для многообразий любой размерности, но это чрезвычайно сложная задача. Ясно, что если такая классификация и существует, то приведенного выше перечня недостаточно, поскольку характеристика Эйлера-Пуанкаре любого замкнутого многообразия нечетной размерности рана нулю (см. главу 23).

Пуанкаре мечтал о классификации многомерных многообразий, но даже в трехмерном случае эта задача не поддалась его усилиям. Гипотеза Пуанкаре стала только первым шагом в процессе этой классификации.

Простейшим замкнутым n-мерным многообразием является n-мерная сфера Sn. Пуанкаре искал простой критерий, который позволил бы узнать, гомеоморфно ли данное n-мерное многообразие в сфере Sn. В 1900 г. он думал, что нашел такой критерий. Он доказал215, что любое n-мерное многообразие, гомологичное Sn, должно быть гомеоморфно Sn. Гомология n-мерной сферы особенно проста. Ее числа Бетти равны 1 для размерностей 0 и n, 0 для всех остальных размерностей, и зацепления нет.

Через четыре года он понял, что доказательство содержало ошибку216. И не только нашел собственную ошибку, но и обнаружил замечательный контпример к своему же утверждению. Он построил патологическое 3-мерное многообразие, имеющее такую же гомологию, как S3, но не гомеоформное S3. Для этого он склеил противоположные грани сплошного додекаэдра, повернув каждую на 36° по часовой стрелке.

Интересное и неожиданное свойство додекаэдрического пространства Пункаре состоит в том, что хотя его первое число Бетти равно 0, оно не является односвязным. То есть любой цикл гомологичен нулю, но существуют циклы, которые нельзя стянуть в точку. На рис. 23.3 мы видели пример нетривиального гомологичного нулю цикла на двойном торе, но в додекаэдрическом пространстве всякий цикл, который нельзя стянуть в точку, гомологичен нулю.

Из этого экзотического примера Пуанкаре сделал вывод, что одной гомологии недостаточно, чтобы охарактеризовать не только Sn, но даже S3. Поэтому он отложил в сторону вопрос в n-мерном случае и сосредоточился на 3-мерных многообразиях. Он подозревал, что если все циклы на 3-мерном многообразии топологически тривиальны, то многообразие должно быть геомеоморфно S3. Это и стало содержанием знаменитой ныне гипотезы Пуанкаре217.

Гипотеза Пуанкаре

Любое односвязное замкнутое трехмерное многообразие гомеоморфно трехмерной сфере.

На самом деле в статье Пуанкаре это утверждение выдвигалось не в виде гипотезы, а в виде вопроса. Он не сформулировал своего мнения о том, каким будет ответ.