Шрифт:
Закладка:
— …если только у вас хватит терпения да и времени довести такой опыт до конца, — подтрунивает Ферма. — Но шутки шутками, а закономерности больших чисел сыграют когда-нибудь немалую роль в жизни человечества. И уж конечно, не потому, что с их помощью легче выиграть в монетку.
— Не вздумайте объяснять это шевалье де Мере.
— Да уж, это не для него. Так же как задача о разделении ставок. Ведь он, если не ошибаюсь, так и не решил ее. Зато это сделали мы с вами. И, в отличие от де Мере, получили один ответ…
— …несмотря на то, что решали врозь и каждый своим способом.
— По этому поводу вы изволили заметить в последнем вашем письме, что истина везде одна: и в Тулузе, и в Париже, — напоминает Ферма. — Еще одно точное определение! Вы чеканите словесные формулы не хуже математических. Не удивлюсь, если в один прекрасный день мне скажут, что вы стали писателем.
Бледные щеки Паскаля розовеют: похвала не оставляет его равнодушным. И всё же… Вряд ли он отважится взяться за перо.
— Как знать, как знать, — загадочно посмеивается Ферма. — Жизнь иной раз делает такие неожиданные зигзаги.
— Я вижу, размышления о случайностях настроили вас на философский лад.
— Вполне естественно. На мой взгляд, нет на свете науки более философской, чем наука о случайностях. Ведь она связана с самыми главными пружинами бытия.
— Вы хотите сказать, что миром правит случай?
— Конечно. Хоть это и не означает, что в нем царит хаос. Да ведь и в случайностях, как подумаешь, тоже есть своя закономерность…
Паскаль вскакивает со своего диванчика и горячо пожимает руку Ферма. Давно у него не было такого счастливого вечера! Слышать от друга то, о чем думаешь сам, — что может быть лучше? Недавно, перечитывая Марка Авре́лия, он, Блез, позволил себе не согласиться с этим древнеримским мыслителем, который никак не мог решить, что же господствует на земле: закономерность или случай? Но разве одно исключает другое? Разве случай и закономерность не сосуществуют в этом мире? Мало того: они неотделимы. Закономерности возникают из хаоса случайностей, подчиняясь неким таинственным законам.
— Да, да, — поддакивает Ферма. — Именно так. И вот вам красноречивый пример. В последнее время я, как и вы, упорно размышляю о вопросах, связанных с нашей новой наукой. Но когда ищешь одно, нередко под руку подворачивается другое.
— Что же подвернулось вам?
Ферма таинственно прижимает палец к губам.
— Сейчас узнаете!
Великий треугольник Паскаля
Он выходит из комнаты и тут же возвращается с большой корзиной.
— Что это? — изумляется Паскаль. — Пушечные ядра?
— Яблоки, дорогой мой. Яблоки из моего тулузского рая.
— О! — Паскаль тронут. — Как это мило с вашей стороны.
— То ли вы скажете, когда их попробуете, — откровенно хвастает Ферма. — Знаете что, вы ешьте, а я пока разложу яблоки на столе. С некоторых пор я все время что-нибудь раскладываю и группирую: увлекся фигурными числами.
— Так это и есть ваш секрет?
— Мм… отчасти.
— Решили, стало быть, пойти по стопам Пифагора.
— Отчего же только Пифагора? Фигурными числами занимались еще в Древнем Вавилоне… Так вот, заинтересовавшись фигурными числами, я стал их выкладывать из чего придется. Чаще всего из яблок. Выложу, например, как сейчас, несколько равносторонних треугольников. Первый треугольник — условный, он состоит из одного яблока. Второй — из трех, следующий —из шести, затем — из десяти.
— В общем, получился ряд треугольных чисел. Но что из этого следует? — торопит Паскаль.
— Теперь выложим яблоки пирамидками и получим пирамидальные числа, — тянет Ферма, словно не замечая нетерпения собеседника. — Один, четыре, десять, двадцать…
— А дальше? К чему вы клоните?
— Просто мне захотелось узнать, как вычислить заранее, сколько понадобится яблок, чтобы выложить любое фигурное число, взятое, скажем, из ряда треугольных: 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28… Или из пирамидальных: 1, 4, 10, 20, 35, 56, 84… Попутно я загорелся желанием выяснить, сколько вариантов группировок можно составить из некоего количества предметов или чисел.
По мере того как он говорит, лицо Паскаля становится все более напряженным.
— Так, так, продолжайте, — понукает он.
— Допустим, у нас есть восемь яблок, а лучше — восемь разноцветных шариков. Мы хотим узнать, сколько можно составить из них всевозможных группировок, раскладывая каждый раз по три шарика.
— Иными словами, найти число сочетаний из восьми по три.
Ферма глядит на Блеза с откровенным восхищением. Опять определение, и какое! Но Паскалю не до похвал.
— Не отвлекайтесь, прошу вас. Дальше, дальше…
Ферма пожимает плечами. Что же может быть дальше? Само собой, он стал искать способ, позволяющий определять число сочетаний.
— И нашли?!
— Ничего другого мне не оставалось.
Блез в изнеможении откидывается на спинку дивана. Невероятно!
— Не понимаю, что вас поражает? — в свою очередь обескуражен Ферма. — Мой способ очень прост. Кажется, мы собирались найти число сочетаний из восьми по три? Отлично. Для этого пишем подряд все натуральные числа от единицы до восьми включительно. Затем объединяем три числа, стоящие слева: 1, 2, 3, и три числа, стоящие справа: 8, 7, 6, а потом перемножаем каждую тройку чисел и составляем из их произведений дробь. При этом левая часть будет знаменателем, а правая — числителем. Итак, что у нас получилось?
Паскаль подсчитывает:
8×7×6/1×2×3 = 56.
Ферма довольно потирает руки. Вот и число сочетаний из восьми по три. Нетрудно заметить, что оно к тому же число пирамидальное. Потому что любое пирамидальное или треугольное число есть в то же время какое-нибудь число сочетаний.
Паскаль все еще сидит, откинувшись на спинку дивана, но сейчас он уже не выглядит растерянным.
— Вы меня удивили, — говорит он. — А теперь ваша очередь удивляться.
На той же полоске, где только что подсчитывал число сочетаний, Блез набрасывает группу чисел и передает бумажку Ферма.
— В то время как вы занимались фигурными числами, я копался в этом числовом треугольнике. Составить его,
