равносторонние многоугольники. Рисуя сферу внутри и снаружи каждого из них, он мог "вложить" их так, чтобы они идеально соответствовали планетным орбитам: лучше, чем все, что делал Коперник. Это была блестящая, красивая математическая модель и, возможно, первая попытка построить то, что сегодня можно назвать "элегантной Вселенной". Но с точки зрения наблюдений попытка не удалась. Она не могла быть даже такой же хорошей, как древняя модель Птолемея с ее эпициклами и дифферентами. Это была блестящая идея и первая попытка спорить - используя только чистую математику, - какой должна быть Вселенная. Но это не сработало.

Затем последовал гениальный ход, который определил наследие Кеплера. Три закона о том, что планеты движутся по эллипсам с Солнцем в одном из фокусов, что они охватывают равные площади за равное время и что квадрат периода обращения планеты вокруг Солнца пропорционален кубу большой полуоси. Законы Кеплера одинаково применимы к любому гравитационному полю.

Рисунок Законы Кеплера

Это был революционный момент в истории науки. Математика не лежала в основе физических законов, управляющих природой; это был инструмент, описывающий, как проявляются физические законы природы. Ключевой прогресс заключался в том, что наука должна быть основана на наблюдаемых и измеримых величинах, и любая теория должна соответствовать наблюдениям. Без наблюдений и теории прогресс был бы невозможен.

Эта идея возникала снова и снова на протяжении всей истории, поскольку новые математические изобретения и открытия давали новые инструменты для попыток описания физических систем. Но каждый раз дело было не только в том, что новая математика рассказывала, как устроена Вселенная. Новые наблюдения показывали, что требуется нечто, выходящее за рамки понимаемой в настоящее время физики, и одной чистой математики недостаточно.

Рисунок Пространство

Мы часто визуализируем пространство как трехмерную сетку, хотя это чрезмерное упрощение, зависящее от того, как мы рассматриваем концепцию пространства-времени. На самом деле пространство-время искривлено присутствием материи, а расстояния не фиксированы, а могут эволюционировать по мере расширения или сжатия Вселенной. К началу 1900-х годов стало ясно, что механика Ньютона в беде. Она не могла объяснить, как объекты движутся со скоростью, близкой к скорости света, что привело к специальной теории относительности Эйнштейна. Теория всемирного тяготения Ньютона находилась в такой же беде, поскольку не могла объяснить движение Меркурия вокруг Солнца. Такие концепции, как пространство-время, только формулировались, но идея неевклидовой геометрии (где само пространство могло быть искривленным, а не плоским, как трехмерная сетка) десятилетиями витала в умах математиков. К сожалению, разработка математической основы для описания пространства-времени (и гравитации) требовала большего, чем чистая математика.

Нужна была математика особая, которая согласовывалась бы с наблюдениями за Вселенной. По этой причине все мы знаем имя Альберта Эйнштейна, но очень немногие знают имя Дэвида Гильберта. Появление массивных тел в трехмерном пустом пространстве приводит к тому, что линии, которые были бы "прямыми", становятся изогнутыми на определенную величину.

Рисунок Гильберт

У обоих ученых были теории, связывающие искривление пространства-времени с гравитацией и наличием материи. У обоих были похожие математические формализмы. Сегодня важное уравнение общей теории относительности известно было бы как уравнение Эйнштейна-Гильберта. Но Гильберт, который предложил собственную независимую теорию гравитации, преследовал более серьезные цели, чем Эйнштейн: его теория применялась как к веществу, так и к электромагнетизму и гравитации. А это не соответствовало природе. Гильберт строил математическую теорию, которую считал применимой в природе, но так и не смог получить успешные уравнения, предсказывающие количественные эффекты гравитации. Эйнштейн смог это сделать, и поэтому уравнения поля известны как уравнения поля Эйнштейна, без упоминания Гильберта.

Без соотнесения с реальностью у нас вообще нет физики. Электроны проявляют волновые свойства, а также свойства частиц, и их можно использовать для построения изображений или измерения размеров частиц так же хорошо, как и свет.

Рисунок Щель

Здесь вы можете увидеть результаты эксперимента, в котором электроны запускаются по одному через двойную щель. Как только будет выпущено достаточное количество электронов, можно отчетливо увидеть интерференционную картину.

Нельзя просто пропустить электрон через двойную щель и знать, исходя из всех начальных условий, куда он попадет. Требовался новый тип математики, основанный на волновой механике и наборе вероятностных результатов. Сегодня мы используем математику векторных пространств и операторов, и студенты-физики изучают гильбертово пространство. Тот же математик Дэвид Гильберт открыл набор математических векторных пространств, которые были чрезвычайно многообещающими для квантовой физики. Только, опять же, его предсказания не имели никакого смысла при сопоставлении с физической реальностью. Для этого нужно было внести некоторые изменения в математику, создав то, что некоторые называют физическим гильбертовым пространством. Математические правила нужно применять с определенными оговорками, иначе свойства нашей физической Вселенной никогда не будут правильно описаны.

Сегодня в теоретической физике стало очень модно обращаться к математике как к потенциальному пути к еще более фундаментальной теории реальности. За прошедшие годы был опробован ряд математических подходов:

наложение дополнительных симметрий,

добавление дополнительных размерностей,

добавление новых полей в общую теорию относительности,

добавление новых полей в квантовую теорию,

использование более крупных групп (из математической теории групп) для расширения Стандартной модели.

Эти математические исследования интересны и потенциально актуальны для физики: они могут содержать ключи к разгадке того, какие секреты может хранить Вселенная помимо тех, что известны в настоящее время. Но одна математика не может научить нас, как устроена Вселенная. Мы не получим окончательных ответов, не сопоставив предсказания с физической Вселенной.

В некотором смысле это урок, который усваивает каждый студент-физик, впервые вычисляя траекторию объекта, брошенного в воздух. Как далеко он полетит? Где приземлится? Как долго находится в воздухе? Когда вы решаете математические уравнения - уравнения движения Ньютона, - которые управляют этими объектами, вы не получаете единственного "ответа". Вы получите два ответа; вот, что дает вам математика. Но на самом деле объект только один. Он следует только по одной траектории, приземляясь в одном месте в определенное время. Какой ответ соответствует действительности? Математика вам не скажет. Для этого необходимо понять особенности рассматриваемой физической проблемы, так как только это скажет вам, какой ответ имеет физический смысл. Математика уведет вас очень далеко в этом мире, но не даст вам всего. Без сопоставления с реальностью вы не можете надеяться понять физическую Вселенную.

***

Странные глыбы "инфлатонов" могут быть самыми первыми сооружениями во Вселенной

Мара Джонсон-Гро

Рисунок Инфлатон

Здесь показано одно из плотных скоплений инфлатонов, которые возникли во время фазы инфляции в младенческой вселенной.

Моделирование со сверхвысоким разрешением крошечного кусочка Вселенной - в миллион раз меньше протона