График ниже демонстрирует это в действии. Каждая линия представляет собой серию бросков монетки и показывает, как процент выброшенных «решек» меняется с первого до пятисотого броска в каждой серии. Обратите внимание, что кривые могут довольно сильно отклоняться от отметки 50 % в начале, но приближаются к этому числу все сильнее и сильнее по мере увеличения числа бросков. И даже после пятисотого броска некоторые числовые данные все еще далеки от 50 %.

Закон больших чисел

Скорость сходимости для данного эксперимента зависит от ситуации. В следующем разделе мы объясним, как определить достаточный размер выборки. А сейчас мы хотим сосредоточиться на том, что пойдет не так, если ваша выборка слишком мала.

Для начала рассмотрим ошибку игрока, названную в честь игроков в рулетку, которые считают, что последовательность черных и красных результатов на колесе рулетки в следующий раз скорее закончится, чем продолжится. Допустим, вам десять раз подряд выпадало черное. Жертвы этой ошибки ждут, что в следующий раз выше вероятность получить красное, тогда как на самом деле вероятность для каждого вращения не меняется. Чтобы эта идея перестала быть ошибочной, рулеткой должна управлять некая корректирующая сила, уравновешивающая результаты. Но это не тот случай.

Иногда это также называют ложным выводом Монте-Карло, потому что в широко известном случае 18 августа 1913 года в казино в Монте-Карло выпала невероятная череда из 26 черных! Вероятность такого результата составляет всего 1 на 137 млн для любой последовательности из 26 вращений. Но все остальные последовательности из 26 результатов точно так же редки. Просто они не такие крутые. Ошибка игрока действует для любой последовательности решений, включая судебные, кредитные и даже решения бейсбольных рефери. В обзоре Чикагского университета для «Ежеквартального экономического журнала»[64], посвященном рассмотрению дел о предоставлении политического убежища с 1985 по 2013 год, отмечается, что

судьи были менее склонны предоставлять политические убежища, если уже одобрили предыдущие два дела. Это также объясняет то неприятное чувство на школьном экзамене, когда вы заметили, что выбрали ответ «б» четыре раза подряд.

В случайных данных часто обнаруживаются последовательности и кластеры. Вы удивитесь, если узнаете, что есть шанс 50/50 выбросить четыре «решки» подряд в любой серии из двадцати бросков? Такие последовательности часто неправильно интерпретируют как свидетельства неслучайного поведения, ошибки интуиции, которые называются иллюзией кластеров.

Посмотрите на пару картинок ниже. Какая из них сгенерирована случайным образом?

Иллюзия кластеров

Стивен Пинкер. Лучшие ангелы нашей природы. New York: Viking Books, 2011.

Эти картинки взяты из книги психолога Стивена Пинкера «Удачные ракурсы нашей натуры». Левая картинка, на которой очевидны кластеры, на самом деле случайная. Правая картинка, которая интуитивно кажется случайной, на самом деле такой не является. Это фотография светлячков на своде пещеры в Вайтомо, Новая Зеландия. Светлячки специально рассаживаются подальше друг от друга в борьбе за еду.

Во время Второй мировой войны лондонцы пытались найти закономерность в бомбардировках их города немецкими войсками. Некоторые считали, что целят в одни районы, а другие щадят. Появились теории заговоров о том, что немцы симпатизируют определенным районам, которые не подверглись обстрелу. Но статистический анализ показал, что нет никаких доказательств, подтверждающих неслучайную природу бомбардировок.

Невероятное не следует путать с невозможным. Если долго пытаться, можно получить даже редкий результат.

Некоторые люди выигрывают в лотерею, а некоторых ударяет молния. События с вероятностью «один на миллион» происходят довольно часто на планете, где живет 7 млрд человек.

В США чиновников из сферы здравоохранения просят расследовать больше тысячи подозрительных кластеров заболеваемости раком каждый год. Хотя история знает о заметных кластерах случаев рака, вызванного взаимодействием с промышленными токсинами, подавляющее большинство заявленных происшествий абсолютно случайны. Существует более 400 000 компаний, где числится 50 и более сотрудников. Очень велика вероятность того, что горстка людей получит один и тот же неутешительный диагноз.

Зная об ошибке игрока, не стоит ждать, что краткосрочный результат всегда будет совпадать с долгосрочными ожиданиями. Справедливо и обратное: не стоит основывать долгосрочные ожидания на маленьком наборе краткосрочных результатов.

Возможно, вам известно выражение проклятие второй попытки, которым описывается сценарий, когда группа получает восторженные отзывы на первый альбом, а второй публика принимает уже холоднее, или когда начинающий бейсболист блестяще выступает в первом сезоне, но на следующий год его средний результат уже не так впечатляет. Можно предположить, что этому есть какое-то психологическое объяснение, например они не выдерживают своего успеха. Но в большинстве случаев истинная причина этого явления – чисто математическая, и объясняется моделью, которая называется регрессией к норме.

Норма – это еще одно название среднего значения, и регрессия к норме объясняет, почему за экстремальными событиями обычно следует что-то более типичное: регрессия к ожидаемой норме. Например, никто не ждет, что бегун два раза подряд побьет рекорд в забеге на время. От него ждут менее впечатляющих результатов. Ведь редкий результат потому и редкий, что не стоит надеяться на него несколько раз подряд.

Не стоит думать, что результат, основанный на небольшой выборке, будет типичным. Он не отразит результат ни для любой другой маленькой выборки, ни для гораздо большей. Как и единичные случаи, небольшие выборки очень мало сообщают вам помимо того, что случившееся может произойти. Хотя первое впечатление и бывает точным, нужно относиться к нему скептически. Дополнительные данные помогут отличить вероятное событие от аномалии.

Кривая нормального распределения

Когда имеете дело с большим количеством данных, используйте графики и сводную статистику, чтобы бороться с информационной перегрузкой. Термином статистика на самом деле просто называют числа, которые используются для обобщения наборов данных (и математический процесс, с помощью которого генерируются эти числа). Графики и сводная статистика кратко излагают факты о наборе данных.

Вы постоянно используете сводную статистику, даже не понимая этого.

Если кто-то спросит вас: «Какова температура здорового человека?» – вы, скорее всего, ответите, что 98,6 °F или 37 °C. На самом деле это сводная статистика, которая называется нормой, что, как мы только что объяснили, является другим названием среднего значения.

Возможно, вы даже не помните, когда впервые узнали об этом факте, и еще вероятнее, что вы даже не знаете, откуда взялась эта цифра. Чтобы высчитать эту статистику, немецкий доктор Карл Вундерлих в XIX веке собрал и проанализировал больше миллиона температур, замеренных подмышкой у 25 000 пациентов (очень много подмышек).

И все