1. Грубость, или устойчивость системы к изменениям параметров;

2. Следование степенному закону распределения событий, с «тяжелыми хвостами» возможных событий чрезвычайно большого масштаба;

3. Масштабная инвариантность или фрактальность, придающая системе способность иерархического самоповторения.

Можно предполагать, что в скором времени аналитический аппарат самоорганизованной критичности будет достаточно разработан, чтобы показать, как есть основания надеяться, глубинную общность названных концепций спонтанной самоорганизации и динамического хаоса, включая информационные и энтропийные аспекты этих теорий. На данный момент мы имеем больше вопросов, чем ответов в отношении ключевых свойств динамической критически самоорганизованной системы, способных сделать систему живой как в переносном, так и прямом смысле: например, что на самом деле в модели СОК является постоянным элементом системы, обладающим памятью макросостояния? В песочной модели, например, песчинки не являются постоянными элементами системы: они непрерывно входят и выходят из нее, обладая, похоже, лишь скоротечной микроинформацией (обусловливая тем не менее возможность постоянного обновления тезауруса системы). Возможно, элементами системы являются некие динамические кластеры, не имеющие явного «физического» воплощения, но возле контуров которых, как по руслам, и проходит обвал? Последнее предположение, хоть и образное, но выглядит вполне логичным: очевидно, что, если в куче есть кластеры, взаимодействия в которых отличаются от средних по системе, разломы и обвалы будут проходить возле них.

Клеточные автоматы как модели жизни

А. В. Подлазов (2002) обнаруживает в многочисленных моделях СОК важную общность: все они строятся на одной и той же схеме, основанной на динамическом взаимодействии двух разнонаправленных процессов. Первый можно обозначить как условно естественный путь развития элементов системы (в модели песка, например, связанный, очевидно, с силами трения и ведущий к увеличению локального наклона кучи), второй – путь селекции или отбраковки (в модели песка – совокупность сил, ведущих к осыпанию).

Как указывалось, математический аппарат систем СОК весьма близок (и, как указывалось выше, достаточно сложен), то есть в теоретическом плане изменение физической модели не имеет принципиальных последствий. Если же взять для дальнейшего рассмотрения более «математические» модели, например на основе клеточных автоматов, то последствия изменений могут оказаться более существенными. В одной из таких сравнительно простых моделей, созданной Д. Дхара и Р. Рамасвами, куча песка представлена двумерной решеткой (в оригинале – гексагональной), со сдвигом слоев на ½ ячейки, так что каждая ячейка одного слоя граничит с двумя ячейками верхнего или нижнего слоя (рис. 13) – условно уровнями кучи.

Рис. 13. Клеточный автомат – симулятор песочной кучи

Числа в ячейках отражают наклон кучи (0 – нет наклона, >0 – есть наклон), но если наклон больше 1 (то есть =2), то куча «осыпается»: две нижние ячейки приобретают по единице, сама ячейка, соответственно, «обнуляется» (как часто бывает, временно). «Куча» цилиндрическая, то есть края решетки замкнуты и песчинка с края на рисунке переходит на противоположный край. Снизу ячеек нет, и единицы – песчинки «вываливаются» из кучи. На решетку справа в случайную ячейку верхнего слоя попадает единица-песчинка (+1). После этого ячейка переходит в возмущенное состояние (решетка справа), начинается цепная реакция осыпаний, завершающаяся стадией релаксации. Ячейки, пережившие осыпание на решетке справа, отмечены серым цветом; получившие единицы-песчинки, но сохранившие устойчивость, – светло-серым.

В клеточном автомате Д. Дхара и Р. Рамасвами размер лавины может быть описан площадью осыпания (количеством осыпавшихся ячеек) или длительностью (количеством вовлеченных слоев). Компьютерное моделирование показывает, что распределение лавин по площади и глубине имеет отчетливо степенной вид, особенно показательный на очень больших решетках, что характеризует данную систему как склонную к катастрофам, то есть нахождению в состоянии самоорганизованной критичности.

Возможно несколько усложнить модель, добавив правило деления ячеек и решеток: некоторые ячейки в решетке (например, пограничные, скажем, нижние) или решетки в надсистеме решеток, достигнув критического значения, не выбрасывают песчинки/ ячейки, а разделяются на две. Таким образом может возникнуть иерархичность, на каждом из уровней которой элементы обладают свойствами СОК. Вопрос в том, будет ли критичность возникать практически при любых правилах деления или только при строго определенных, то есть есть ли у такой модели грубость. Так, например, великолепный клеточный автомат, созданный в 1970 году английским математиком Джоном Хортоном Конвеем (John Horton Conway) в форме своеобразной игры – «Игра Жизнь» (Game of Life), или «Эволюция» (в первой русскоязычной версии) – и подробно описанный и популяризованный в серии статей Мартином Гарднером (Martin Gardner), также представляет из себя двумерную решетку, однако простую: каждая квадратная ячейка окружена 8 аналогичными (рис. 14). Она может быть либо занята «живой» сущностью (значение 1), либо быть пустой (значение 0). Если число соседей больше 3, живая ячейка гибнет «от перенаселенности». Если это число равно 1 или 0 – умирает «от одиночества». Ну а новая живая сущность рождается в пустой клетке только если рядом уже есть 3 живых. Игрок (творец, демиург) задает первичное распределение живых сущностей в решетке, дальше все решает названный алгоритм. Игра при удачном расположении на решетке «первого поколения» фантастическим образом рождает удивительные стабильные, в том числе самовоспроизводящиеся «живые» структуры, способные переходить в устойчивые стационарные состояния (рис. 15).

Рис. 14. Различные визуальные интерпретации «Игры Жизнь»:

a – классическая форма; б – клеточный автомат, строящий фрактальные структуры по правилам «Игры Жизнь» (с сайта http://pentadecathlon.com/); в – сглаженная «генерализованная» версия (Smooth Life byionreq)

Рис. 15. Самоподдерживающиеся структуры в «Игре Жизнь» (по Эбелинг В., Энгель А., Файстель Р., 2001):

а – вымирающая популяция; б – переход в стационарную популяцию; в – осциллирующая популяция; г – самовоспроизводящаяся дрейфующая популяция

Более того, если в эти состояния вносить «мутации» (новые «живые» элементы), это способно порождать целую лавину рождений и смертей, по окончании которых система снова переходит в стационарное состояние. Надо ли говорить, что статистика этих лавин соответствует степенному распределению, то есть ее модель является критической! Наиболее удивительным является то, что изменение начальных правил игры (например, количества соседей, вызывающих смерть или рождение особи) – а их было рассмотрено более миллиона вариантов! – не способно породить ничего подобного. То есть принципиально «Игра Жизнь» не является в узком смысле самоорганизованной, ей не хватает грубости, она в известном смысле случайна. Тем более невероятным кажется то, как Джон Конвей смог найти или почувствовать этот комплекс простейших параметров, рождающий невероятную сложность возникающих в ней сюжетов. Сам Конвей, потеряв к игре интерес спустя всего несколько лет после создания, завершил свое исследования в этой области доказательством эквивалентности своей игры машине Тьюринга (тьюринг-полноту модели), то есть она полностью