Шрифт:
Закладка:
Мнимая Единица с жёлтым зонтиком пересекла дорогу действительных чисел у таблички -1 и превратилась в действительное число — Отрицательную Единицу. Возле таблички -i она снова стала Мнимой Единицей, но уже со знаком минус. Вот она снова пересекла действительную дорогу, поравнялась с табличкой +1 и — невероятно! — опять превратилась из Мнимой Единицы в Действительную, да ещё положительную. А потом как ни в чём не бывало возвратилась к табличке i. Тут она снова стала Мнимой.
Оркестр заиграл песню «Каким ты был, таким остался!», и всё началось сначала. Карусель кружилась, а Мнимая Единица всё превращалась и превращалась.
— Не понимаю, — сказал Сева. — Мнимая Единица превращается в Действительную, Действительная — опять в Мнимую… Как это?
— На то и возведение в степень! — отозвалась Мнимая Единичка. — Ведь Мнимая Единица равняется корню квадратному из минус единицы:
i = √-1.
Но если возвести в квадрат корень квадратный из любого числа, что получится?
— Подкоренное число, — ответил Олег,
— Так это же мы недавно видели! — вспомнил Сева. — Один карликан целый час возводил в квадрат то корень квадратный из трёх, то корень квадратный из двух… И каждый раз получалось число, стоящее под радикалом.
— То же самое происходит и с Мнимой Единицей:
i2 = i • i = (√-1)2 = -1.
— Ну, это понятно. А как же действительное число — минус единица превращается в мнимое?
— При этом Мнимая Единица возводится уже не в квадрат, а в куб, то есть в третью степень:
i3 = i2 • i.
А это ведь всё равно что умножить минус единицу на i:
-1 • i = -i.
— Теперь, — сказал Олег, — нетрудно понять, как Мнимая Единица с минусом -i превращается в Действительную Единицу со знаком плюс +1. Она возводится в четвёртую степень:
i4 = i2 • i2.
А это можно представить себе и так:
-1 • -1 = +1.
— Прекрасно! — воскликнула Мнимая Единичка. — Остаётся выяснить, как Действительная Единица снова становится Мнимой.
В самом деле, как? Тут даже Олег ни до чего не додумался. Но оказалось, что для этого Мнимую Единицу надо возвести в пятую степень.
— Не может быть! i5 равно i?! — растерялись мы. — Что же это такое?
— Да ничего особенного: i4 = 1. Чтобы получить i5, умножим единицу на i. А это ведь всё равно что i, взятое один раз, то есть просто i:
1 • i = i.
— Вот так история! Мнимую Единицу нельзя возвести более чем в четвёртую степень? — удивился Олег.
— Отчего же! — возразила Мнимая Единичка. — Возводите себе на здоровье и в шестую, и в седьмую, и в сто двадцать первую… Словом, в любую целую степень. Но ничего, кроме того, что уже было, не получится. На то и карусель!
Тут Севе срочно понадобилось выяснить, чему равняется i17?
— Ну, это совсем нетрудно, i в пятой равно i, — сказала Мнимая Единичка. — Значит, i в девятой тоже равно i…
— Понимаю! — перебил Сева. — Каждый раз надо прибавлять к показателю степени четыре: i13 равно i, значит, i17 тоже равно i.
Вот, Нулик, хорошая задача для твоих учеников. Попробуйте вычислить, чему равно i24? А чтобы вам легче было, загляните в чертёж мнимой карусели.
Долго ещё любовались мы превращениями Мнимых Единиц, а когда уже собрались уходить, Сева хлопнул себя по лбу:
— Чуть не забыл спросить! Вы сказали, что при возведении в степень Мнимые Единицы движутся по кривой. А ведь здесь они движутся по окружности!
— Окружность тоже кривая, но такая, где все точки находятся на одинаковом расстоянии от центра. При умножении и возведении в степень перемещаются по окружности только Мнимые Единицы.
— А как движутся другие мнимые числа при возведении в степень? — спросил Олег. — Два i, три i, четыре i?
— На нашей карусели вы этого не увидите, — сказала Мнимая Единичка. — Да оно и к лучшему. Нельзя же всё сразу…
— Всякому овощу своё время? — подмигнул Сева.
— Пожалуй, — улыбнулась Мнимая Единичка.
Мы поблагодарили её и распрощались. Но тут пришла очередь Олегу хлопать себя по лбу.
— Извините, пожалуйста, — сказал он, обернувшись, — а зачем вообще нужны мнимые числа?
— Это вы поймёте, когда начнёте решать уравнения второй и третьей степени. Там в ответе часто получаются мнимые числа.
— На что нужны уравнения с мнимыми ответами? — буркнул Сева.
— Спросите об этом у физиков, химиков, инженеров, астрономов… Мнимые числа помогают им решать вовсе не мнимые, а действительно важные практические задачи.
— Но почему же тогда вас называют мнимыми?
— По привычке, — грустно ответила буковка i. — Так нас окрестил французский учёный Рене Декарт. Это было в семнадцатом веке, когда мнимые числа ни во что не ставились. Но с тех пор многое переменилось. Если бы Декарт жил в наши дни, он непременно придумал бы для нас более подходящее название.
— Например, «необходимые числа», — сказал Олег.
— О! Это было бы чудесно! — вздохнула Мнимая Единичка.
Мы ещё раз попрощались и ушли. На этот раз совсем.
Таня.
Аль-мукабала!
(Сева — Нулику)
Селям алейкум, старина! Я теперь тоже умею говорить по-восточному. Поживёшь в Аль Джебре — не то ещё узнаешь!
Сегодня мы учились решать уравнения. Правда, пока ещё первой степени. Но и это не так уж мало.
Здесь есть особая площадка, где решают эти уравнения. И не как-нибудь вручную, а подъёмными кранами. Механизация!
Когда подходишь к этой площадке, видишь одни только краны. Длинношеие, вроде жирафов. Жирафы то поднимают голову, то опускают, то тянутся друг другу навстречу. Только переносят они не кирпичи, не блоки, а буквы, числа, знаки сложения, вычитания. Словом, всё, что понадобится.
Таня оставила в покое свой фасонистый комбинезон, пришла в школьном платье. И очки сняла. Правильно сделала: электросваркой ей здесь заниматься не пришлось.
Что нам бросилось в
