В-четвертых, у сидящих за партами возникают вполне определенные чувства о разумности, интересности и полезности математики. И это единственное, что остается после прохождения подобного курса обучения.

Мне можно возразить, что когда долбоумы учат остолопов, то картина гармонична. Сейчас может это и так, но шел-то 1983 год, и в данной зарисовке Учитель был гармоничней учеников.

Справедливости ради, должен сказать, что эта картина у нас не была типична. Нормального человека не хватает, на то, чтобы во всем быть правильным. Но характерно и то, что мне это предъявляли в качестве поучительного образца. С другой стороны мне (и надеюсь, моим, тогда еще будущим, студентам) пошли на пользу размышления над данным примером.

в) Экспонента матрицы. Далее я принимаю экзамен по диффуравнениям в потоке у вполне достойного профессора, в целом хорошо прочитавшего курс.

Девочка рассказывает про экспоненту матрицы. Я слушаю ее рассказ не без удивления (хотя она все правильно говорит). Далее пишу нулевую матрицу и прошу посчитать ее экспоненту. Девочка считает собственные числа, потом интерполяционный многочлен, потом подставляет матрицу в многочлен (боюсь, даже не каждый математик по моим словам быстро восстановит, что происходило) И получает верный ответ! Я в итоге (отнюдь не только за это) ставлю ей пять. Кстати объясняю ей нормальное определение. Она вполне это понимает и с интересом считает пару предложенных мной экспонент, исходя из человеческого определения. Следующую девочку (мальчиков не было, см. выше) сразу прошу посчитать экспоненту от единичной матрицы… И т. д. Все отвечают одинаково.

Теперь комментирую. Наверное, это действительно один из самых быстрых способов решать системы из двух линейных дифуров. Но есть разница между смыслом объекта и способом его вычисления. И ежели ты читаешь фундаментальный курс — объясняй природу явления.

Цели и средства

Возвращаюсь к технологии отработок и "контрольных точек". Итак, преподавателю, по уставу, надо было принять за семестр в одной группе, скажем, 25 типовых задач. Но дальше он сам оказывается в ловушке, потому что должен вести себя так, чтобы студенты эти (и именно эти) задачи сдали. Преподаватель поставленной цели (никуда ему не деться) добивается. Путь наименьшего сопротивления для него — ориентировать обучение на прохождение положенных задач. В частности, сознательно или бессознательно вводятся специальные методики для гладкого проведения решения.

На самом деле не случится ничего страшного, если студент за единицу времени выдаст "на-гора" вдвое меньше экспонент от матриц. Если ему в дальнейшей жизни придется эти самые экспоненты ежедневно считать, то он как-нибудь сам разберется, как это делать побыстрее (для чего есть и вычислительная техника, и толстые книжки с изысканными алгоритмами). А если простое фундаментальное понятие заменить на витиеватый алгоритм, то человек не научится ничему.

Вообще, совершенные алгоритмы в процессе обучения забивают память и (в силу законов сохранения) мешают собственно обучению. Потом память от них освобождается (и слава богу!), и… не остается ничего.

А с точки зрения реального обучения надо предоставлять студенту возможность искать, делать ошибки, и, главное, находить корявые решения.

Кстати, преподаватели в большинстве случаев забывают, что из решаемых задач лишь меньшая часть самоценна, в большинстве своем они являются лишь средством для достижения понимания.

Позволю себе три типичных конкретных примера из истории своих наблюдений.

1. Задача: провести плоскость через три точки. Минимально разумный человек должен сообразить, что надо решить систему уравнений. И надо, чтобы в этом и бесчисленном числе сходных случаев человек писал и решал линейную систему (или не решал, если умеет решать).

С другой стороны можно записать ответ в изысканной форме, и предложить ее изящный вывод. Студент подставит числа в готовую формулу и получит ответ.

Ура! результат достигнут. Но только чему при этом научится студент? Только тому, чтобы не думать.

И это повторится много раз с другими типовыми задачами. И все будет хорошо решаться. Но в любой не типовой обстановке внешне обученный человек будет "глядеть, как в афишу коза".

Интересно, что я, будучи ассистентом, пытался людей чему-то учить на "типовых задачах", а на лекциях слишком часто оказывались прочитанными рецепты, лишавшие мои усилия какого-либо смысла.

2. Приведение кривой второго порядка к каноническому виду. Это довольно скучное дело, и студентам давалось на дом типовое задание с парой таких кривых.

Кроме того, давались подробные предписания, как это делать (ниже дается сокращенный конспект инструкции).

а) проверить, "центральная" эта дрянь (кривая) или нет (я, кстати, вне педагогической практики и слова-то "центральная квадрика" не слышал).

б) Если центральна — делай так. Если не центральна — делай сяк (ниже сяк опускается).

в) Угол поворота ищется по такой-то формуле.

г) Поворот осуществляется такой-то подстановкой.

д) Параметры сдвига вычисляются так-то.

е) Далее — зоологический список случаев и их "определитель".

А было бы достаточно объяснить, что надо кривую повернуть и сдвинуть. И объяснить идею: поворотом достигается убиение слагаемого в уравнении, а дальнейшее вроде и понятно.

И пусть человек ищет параметры поворота и сдвига "методом неопределенных коэффициентов".

Эллипс и тогда можно было с помощью вычислительной машины нарисовать (а то и руками на миллиметровой бумаге с помощью логарифмической линейки; уж если припрет — ничего страшного). А вот объяснять, что такое геометрическое преобразование — надо. И поворот квадрики — хороший повод к этому.

3. ППР. На мехмате я однажды "срезался" на экзамене, и его пришлось пересдавать. Предмет был: "Партийно-политическая работа в Советских вооруженных силах". Собственно на военной подготовке на мехмате тогда "вояки"-технари преподавали программирование, теорию массового обслуживания, передачу информации и т. п. с определенной (соответствующей) спецификой. И упомянутый выше почтенный курс в "гос по войне" не включался.

Помню, надо было знать 14 основных обязанностей командира взвода в области ППР. И не перескажешь их своими словами: ведь какие умы десятилетиями их формулировали, чтобы было точно и без искажений. Да и слов таких не каждый найдет. Перечислить их надо было в правильном порядке. А как же иначе? А то ведь придашь преувеличенное значение второстепенному направлению (боюсь даже, эта фраза политбезграмотна, разве может быть направление партполитработы второстепенным?). А к чему эту приведет?

А сколько было чинов между командиром взвода и начальником ГлавПУРа? И сколько у них у всех было обязанностей? Большая была наука, и не каждому студенту мехмата давалась.

Я только одно из всего лекционного курса и запомнил: что начальник караула не проводит ППР среди спящей смены. Не знал я этого, а догадаться, что людей вот просто так брали и бросали без "окормления", не мог. Вот и пришлось заново учить и экзамен пересдавать.

Да, упомянутым кривым второго