реальная бесконечность уменьшения. – V. О происхождении и назначении чисел. – VI. Типы чисел и их противоположность. – VII. Единство и множественность каждого числа; происхождение чисел одно от другого; первоисточник чисел. – VIII. Учение об отношении числа к другим сторонам бытия и его состав. – IX. Недостаток учения о времени и учения о формах с непостоянным изменением; геометрия и четыре фазиса в ее историческом развитии. – X. Механика; определение движения; его элементы. Изменение движения с изменением этих элементов. Ускорение движения с уменьшением времени; что делается с движением, когда, уменьшаясь, время превращается в нуль; смысл получаемого явления; пример, показывающий, что это исчезновение времени из движения имеет место в действительности. Что делается с движением, когда, изменяясь, пространство превращается в нуль? Смысл и действительное значение получаемого при этом явления. – XI. О количественных отношениях вещей и явлений в Космосе и Космоса, как целого.

I. Учение о количестве как последней стороне бытия так же, как и предыдущие, распадается на Общую теорию, имеющую своим предметом количества в их чистом виде, без отношения к тому, что количественно, и на две частные формы: на Учение о проявлении количественной стороны в вещах и в явлениях, которые лежат в Космосе, и на Учение о количественных отношениях в самом Космосе как в целом.

Между этими частными учениями и общею теориею есть еще две промежуточные, соединяющие формы. Они не могут быть отнесены ни к общей теории, потому что предмет их – не всякие количества, но только некоторые с определенным содержанием; и не могут быть отнесены к частным учениям потому, что это содержание касается все-таки не реальных вещей. Из них первое есть Учение о формах пространства, или Геометрия, а второе – Учение о движении, или Механика.

II. Общая же теория, изучающая количества без отношения к тому, что количественно, есть Алгебра (и ее частный вид – Арифметика). Но она изучает только отношение и взаимнодействие между различными формами количеств, но не самое количество. И поэтому под нею, как основание, должна быть развита общая форма, имеющая задачею понять эту сторону бытия в самой себе; понять не количества в действии, но количество в состоянии. Двигаясь по схемам разума, она распадается на учение о форме существования, о природе, о свойствах, о происхождении, о назначении, о сходстве и различии и о количественной стороне чисел.

Если бы у нас оставалось еще какое-нибудь сомнение относительно того, есть ли и могут ли быть изучаемы стороны бытия независимо от бывающих вещей, как-то: явление существования независимо от существующих вещей, – то размышление о количествах рассеяло бы окончательно эти сомнения. И в самом деле, подобно тому как нам известны только существующие вещи, а не самое существование, так же точно нам известны только большие и малые, многие и единичные вещи; однако математика не остановилась на именованных числах и изучает самые количества, а не количества только верст, пудов, минут и часов. И мы едва ли пренебрежем истиною, если скажем, что некогда учение о чистых сторонах Космоса разовьется в такие же сложные и глубокие учения, в какие развилась математика; а то, что мы знаем о них теперь, едва ли по своей исторической зрелости превосходит то время, когда люди умели считать времена, расстояния и весы, но еще слабо догадывались, что есть нечто и во внешней природе и в сознании, что всякий раз делает возможным этот счет, но что, как неизменно присутствующее при этом, остается незаметным для считающих, именно: большее, меньшее, равное или единичность, двойственность, тройственность и пр., т. е. некоторые общие формы количеств и схемы для образования общих идей об них.

Что касается до формы существования количеств, то она двояка: вечно потенциальна и временно реальна; т. е. в каждом пространстве потенциально существует каждое число и каждое же число временно может проявиться в нем в осязательной форме. И в самом деле, уже ранее было доказано[11], что в каждой частице пространства невидимо присутствуют все геометрические фигуры, как наблюдаемые, так и мыслимые. Изберем из этих фигур какую-либо одну, напр. прямую, или окружность, или равносторонний треугольник. Каждая из этих фигур делится на две и на три равные части; итак, представив эту фигуру разделенною таким образом, мы убеждаемся, что в ней, а с нею и в каждой частице пространства существуют числа 1, 2, 3 и, кроме того, еще равное (две половины одной и той же формы) и неравное (2/3 и 1/3 одной и той же формы). Продолжая таким же образом делить одну и ту же фигуру или проводить в ней линии различными способами, указанными в геометрии, мы без труда убедимся, что в ней и в том пространстве, в котором произвольно взята она, невидимо существуют все числа и величины от бесконечно малого (величина последнего возможного деления) до бесконечно большого (число всех возможных делений) и все отношения между числами, изучаемые в математике. Реально же числа и величины проявляются в пространстве тогда, когда в нем возникают реальные счисляемые предметы, напр. два дерева, семь человек и пр.

III. Уловить, в чем состоит сущность числа, или, что то же, определить, что́ такое число по своей сущности, довольно трудно. Нам кажется, что сущность числа есть повторяемость, подобно тому как сходство и различие есть само повторяемое. И в самом деле, когда мы созерцаем в действительности или мыслим какое-либо число, мы созерцаем или мыслим нечто повторяемым столько раз, сколько содержится единиц в этом числе, или точнее: в нашем сознании или для нашего зрения возникает некоторое число, повинуясь повторяемости каких-либо предметов, мыслимых или реальных; так что если бы не было этой повторяемости, не было бы и числа. Из этого прямо следует, что число есть отражение, символ повторяемости, или, точнее – есть отраженная, символизированная повторяемость. И этому не противоречит то, что счисляются предметы не всегда сходные (не всегда повторяемые); потому что в различных предметах счисляется всегда сходное, напр., в счисляемых вещах, находящихся в данном месте, счисляется повторяемость независимых существований, которые все сходны между собою.

IV. Из свойств чисел (и величин, обозначаемых числами) замечательна способность увеличиваться и уменьшаться неограниченно. Увеличиваясь и уменьшаясь, числа сравниваются между собою – отсюда явления равенства и уравнения, становятся больше и меньше друг друга – отсюда явление большего и меньшего числа и величины. В этих трех явлениях, обозначаемых особыми знаками в математике, выражаются основные отношения между величинами: а = b, а > с, а < d.

Это свойство увеличиваться и уменьшаться, ошибочно принимаемое за выражение сущности числа и величины, было ошибочно введено в