трудности удалось преодолеть до IV в., но долгий период брожения идей, представленный Гиппасом и Феодором, подготовил эпоху Теэтета и Евдокса. Мы продолжим обсуждение этой темы, когда дойдем до соответствующего времени.

Благодаря своей особой одаренности, «греческому гению», древние греки интуитивно понимали математическую истину, как интуитивно понимали красоту. Похоже, они, пусть и не с самого начала, осознали, что невозможно построить логически стройную математику, не решив множества задач с участием бесконечности. Можно лучше оценить раннюю глубину греческого гения, если помнить, что сегодня существует множество хорошо образованных

людей, например врачей или грамматистов, которые едва ли поймут то, о чем мы говорим, тем более совершат подобные открытия. В этой главе уже приведено много примеров интуиции древних греков, связанной с бесконечностью. Мы говорили о теориях, которые объясняли Зенон, Демокрит, Гиппас, Феодор. Далее речь пойдет еще о двоих: Антифоне и Брисоне.

Антифон Софист

Он получил такое прозвище для различения со своим современником, Антифоном Оратором, который также жил в Афинах (ок. 480–411) и сыграл более заметную роль в литературной и политической истории.

Антифон Софист, афинянин, чей расцвет совпал с расцветом Сократа, в какой-то степени соперничал с последним в роли наставника молодежи. Антифон был софистом, интересовался многими областями науки, а кроме того, предсказаниями, в частности толкованием снов. Нельзя забывать, что предсказания, особенно онейромантия (толкование снов), тогда на законном основании считались наукой и привлекали самых образованных людей. В то время пределы знания сознавались не так остро, как в наши дни. Однако Антифон заслуживает нашего внимания, поскольку изобрел новый способ решения старой задачи – квадратуры круга.

Антифон предложил вписать простой правильный многоугольник, скажем квадрат, в данный круг. Затем на каждой стороне квадрата можно построить равнобедренный треугольник, вершина которого будет находиться на окружности. Так можно построить правильный восьмиугольник, а продолжая таким же образом, без труда можно строить правильные многоугольники с 16, 32, 64… сторонами. Далее, очевидно, что площадь каждого из этих многоугольников ближе к площади круга, чем площадь предшествующего многоугольника, или, иными словами, по мере того как все больше правильных многоугольников вписывается в один и тот же круг, площадь этого круга постепенно уменьшается. Площади многоугольников можно вычислить, или многоугольники можно «квадратировать»; они постепенно возрастают, хотя не могут превысить определенный лимит – границу самого круга.

Аристотель, его комментаторы и другие критиковали данный подход на основании того, что, сколько бы раз ни удваивать стороны каждого многоугольника, они никогда не заполнят площадь круга целиком.

Брисон Гераклейский

Брисон родился в семье логографа и мифолога Геродора из Гераклеи Понтийской, мегарской колонии на южном побережье Черного моря. Он был учеником Сократа, а также ученика Сократа, Евклида Мегарского. Таким образом, Брисон принадлежит к более позднему поколению, чем Антифон; скорее всего, расцвет его жизни пришелся на первую половину IV в., но говорить о нем лучше здесь, поскольку его труд очень хорошо дополняет труд Антифона.

В то время как метод Антифона состоял во вписывании в круг ряда многоугольников с 4, 8, 16, 32… сторонами, Брисон предлагал строить описанные многоугольники. Площадь описанных многоугольников постепенно уменьшалась. Площадь круга – верхняя граница вписанных и нижняя граница описанных многоугольников. Конечно, Брисона подвергали такой же критике, что и Антифона; его последовательно критиковали Аристотель, Симпликий и многие историки математики.

Мне кажется, что современные историки (например, Ф. Рудио и И.Л. Гейберг) излишне строги к Антифону и Брисону. Да, методу последнего недоставало строгости, но он основывался на здравой интуиции и постепенно привел к методу подбора (сформулированному Евдоксом) и к интегральному исчислению.

Невозможно отрицать, что Брисон сделал одно открытие: площадь круга – граница для растущих площадей вписанных многоугольников и уменьшающихся площадей описанных многоугольников. По мере того как растет количество сторон этих двух последовательностей многоугольников, их площади все больше приближаются к площади круга с обеих сторон. Этот метод был на деле применен Архимедом (III – 2 до н. э.), который измерил площади двух вписанных и описанных многоугольников по 96 сторон в каждом и пришел к выводу, что 310/71 < π < 31/7 (3,141 < π < 3,142).

Прежде чем завершить раздел, стоит заметить, что люди, чьи математические идеи мы рассматривали (за исключением, может быть, Гиппократа), не были математиками в современном ограниченном смысле слова; они были философами и софистами, которые осознавали фундаментальную важность математики и пытались как можно лучше ее понять. Интересно, что они родились в самых разных частях Эллады. Зенон родом из Великой Греции, Гиппократ и Энопид – из Ионии, Демокрит из Фракии, Гиппий с Пелопоннеса, Феодор из Кирены, Брисон – с побережья Черного моря; Антифон, насколько нам известно, был афинянином (единственный среди них). Если бы мы упомянули Архита Тарентского, жившего на рубеже веков (о нем речь пойдет позже), к нашему перечислению можно было бы добавить еще и Сицилию. Это доказывает, что математический гений был так же широко распространен в Элладе, как и художественный или литературный гений. Этот гений не был афинским или не был привязан к определенной местности; то был гений Греции.

Астрономия

В нашем обзоре астрономических идей V в. до н. э. можно оставить идеи таких философов, как Гераклит, Эмпедокл, Анаксагор, и ограничиться в основном пифагорейцами. В самом деле, школа пифагорейцев в тот период была ведущей астрономической и самой прогрессивной. Их математический мистицизм имел свою полезную сторону, так как помог заметить закономерности в движении небесных тел и открыть космические законы. Как выразился Платон, «пожалуй, как глаза наши устремлены к астрономии, так уши – к движению стройных созвучий; эти две науки – словно родные сестры; по крайней мере, так утверждают пифагорейцы»[54]. Слова Платона прекрасно подчеркивают пифагорейскую концепцию единства математики, музыки и астрономии, которая оказывала влияние на астрономическое мышление вплоть до эпохи Кеплера.

Говоря об астрономах-пифагорейцах, мы имеем в виду не только посвященных во все пифагорейские тайны, но и тех, кто разделял, пусть лишь отчасти, взгляды пифагорейцев на систему мироздания. Начнем наш обзор с Парменида (он был не пифагорейцем, а основателем Элейской школы), а затем перейдем к Филолаю, Гикету и нескольким другим.

Пифагорейцы первыми назвали мир Космосом (подразумевая под ним хорошо организованную и гармоничную систему) и утверждали, что Земля круглая. Данные положения приписывают самому Пифагору, а также Пармениду. Нелегко отделить мысли Парменида от более старых пифагорейских доктрин, но это не должно нас волновать. Первый раздел нашего отчета можно истолковать как представление не только взглядов Парменида, но и взглядов Пифагора примерно в середине V в. К