Шрифт:
Закладка:
Не то что, скажем, другой ряд: 1/2 + 1/22 + 1/23 + 1/24 + 1/25 +… = 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/ 16 + 1/32 +…, чья сумма стремится к единице. Так вот, если в треугольнике мэтра Паскаля каждое число равно сумме двух чисел, стоящих НАД ним (справа и слева), то в моем треугольнике каждый член равен сумме чисел, стоящих ПОД ним (также справа и слева). Например 1/6 = 1/12 + 1/12. А потому, если в треугольнике мэтра Паскаля общий член выражается формулой Сnm, то в моем он выглядит так:
Вот, например, в третьем ряду сверху второй член таков:
— О-о-очень любопытно! — восклицает экспансивный Тарталья.
— Но это еще не всё! — продолжает Лейбниц. — Выберем какой-нибудь наклонный ряд — скажем, второй: 1/2 1/6 1/12 1/20 1/30 1/42. Начнем вычисление с любого, хотя бы со второго его члена, то есть с 1/6. Тогда из сказанного о законе образования членов треугольника прежде следуют такие равенства:
1/6 — 1/12 = 1/12
1/12 — 1/20 = 1/30
1/20 — 1/30 = 1/60
1/30 — 1/42 = 1/105
. . . . . .
Сложим почленно правые и левые части этих равенств. Все равные слагаемые в левых частях, имеющие противоположные знаки (плюс и минус), взаимно уничтожаются, и останется только первое число 1/6. Значит, 1/6 = 1/12 + 1/30 + 1/60 + 1/105 +… Но ведь правая часть этого равенства есть сумма всех чисел следующего за этим наклонного ряда, начиная с 1/12 и до бесконечности. И если в треугольнике мэтра Паскаля каждый член равен конечной сумме чисел, стоящих СЛЕВА и расположенных НАД данным числом, то в моем треугольнике каждое число равно сумме бесконечного ряда чисел, стоящих СПРАВА и ПОД данным. Вот, собственно, и всё.
Паскаль горячо пожимает руку слегка утомленному оратору.
— Благодарю от имени всех, а от себя — особенно. Ваши бесконечные ряды доставили мне бесконечное удовольствие. Потому что бесконечность во всех ее проявлениях — предмет моего самого пристального внимания.
— Если так, — говорит Лейбниц, — попросите нашего достопочтенного председателя предоставить слово мэтру Ньютону, и вы получите удовольствие еще большее. Ибо он использовал вашу общую с мэтром Ферма формулу весьма неожиданно. Причем бесконечность в этом случае играет не последнюю роль.
Раздаются аплодисменты, и мэтр Исаак Ньютон, раскланиваясь, поднимается со своего места.
— Прежде чем перейти к сути дела, — говорит он, — хочу обратить ваше внимание на одно обстоятельство. Подобно мэтрам Паскалю и Ферма, мы с мэтром Лейбницем также совершили одно и то же открытие, независимо друг от друга. Это дифференциальное и интегральное исчисление. Надо, однако, признать, что открытие это — всего лишь завершение того, что начато нашими предшественниками. В первую очередь мэтрами Паскалем и Ферма, а также отсутствующим мэтром Декартом.
Бурное одобрение.
Все встают и долго рукоплещут.
— А теперь перейдем к вопросу, затронутому мэтром Лейбницем, — продолжает Ньютон, дождавшись тишины. — Должен снова оговориться. Формула разложения степени бинома носит мое имя не совсем справедливо. Ею пользовались задолго до меня. О моей роли в ее судьбе я как раз собираюсь рассказать. Для начала запишу эту формулу в ее обычном виде:
(a + b)n = an + Cn1an—1b + Cn2an—2b2 + Cn3an—3b3 + … + bn
Здесь коэффициенты в каждом члене, как вам уже известно, есть число сочетаний из п по нулю, по единице, по два, по три и так далее, то есть
Что же нового внес в эту формулу я? Только то, что предложил обобщить ее, иначе говоря, не ограничивать целым числом для п, а распространить на любые значения показателя степени — дробные, отрицательные… При этом формула сочетаний, выведенная мэтрами Паскалем и Ферма, тоже становится обобщенной. Что же касается самой степени бинома, то она раскладывается в бесконечный ряд. — Мэтр Ньютон предупредительно оборачивается к Паскалю. — Вот в каком виде я предлагаю ее записывать:
Например, для n = 1/2 получится такой ряд:
Или:
Сохраняя любое число слагаемых в правой части, можно вычислить эту сумму с любой степенью точности. Само собой разумеется, что икс в нашей формуле меньше единицы.
Мэтр Ньютон садится, и Пифагор собирается уже объявить следующего оратора… Но тут в телевизоре что-то щелкает, и место Пифагора занимают Знатоки, сообща разоблачающие преступника. Мате с досадой хлопает себя по коленке. Черт знает что!
— Вот именно, мсье, — откликается Асмодей. — Я, во всяком случае, всегда знаю, что делаю. Кроме того, привычка — вторая натура, как сказал Цицерон. А он тоже знал, что говорил.
Разговор без фокусов
— Ну-с, чем вы удивите нас теперь? — допытывается Фило, когда вздремнувшая после обеда компания снова собирается у Мате. — Еще одной телевизионной передачей?
— За кого вы меня принимаете, мсье! Телевизионная передача уже была, а подлинный художник не повторяется.
— У-у-у! Тогда я вам не завидую, — подтрунивает Мате. — Нагородив такую пропасть фокусов, трудненько придумать новые.
— Вы забываете, мсье, что в запасе у меня всегда остается возможность вообще ничего не придумывать. И разве это не самый оригинальный способ не повторяться? Сейчас мы с вами сядем за стол и тихо, без фокусов подытожим все, что узнали о теории вероятностей.
У Фило это сообщение восторга не вызывает. Его куда больше интересует комбинаторика. Он все еще не раскусил, с чем ее едят.
— В самом деле? — улыбается Мате. — А между тем с начатками ее вы наверняка знакомились в десятилетке. Вспомните раздел «Соединения». Размещения, сочетания, перестановки…
— Так это и есть комбинаторика? — удивляется Фило. — Выходит, я, как мольеровский Журде́н, всю жизнь говорил прозой, сам того не
