племя было маленьким, такая перепись быстро приводила к числам, превышающим количество пальцев на руках. Как же вождь справлялся с задачей? В своем замечательном рассказе о переписи, которую проводил раджа Ломбока (острова к востоку от Бали), А.Р. Уоллес подробно останавливается на возникших неизбежных математических затруднениях. В результате раджа приказал производить подсчеты с помощью многочисленных связок стрел. Как он считал стрелы? Помним, что группирование – основа счета. Каждый язык демонстрирует наличие, как выражаются математики, основания системы счисления. Таким основанием часто бывала пятерка (у многих американских племен), иногда 20 (у майя), но чаще всего 10. Одни основания системы счисления были популярнее других, потому что почти каждый первобытный человек пользовался одним и тем же калькулятором: пальцами рук и ног. Если он ограничивался пальцами одной руки (или ноги), основанием служила пятерка; если он пользовался обеими руками (или ногами), основанием служил десяток. Если учитывались все пальцы на руках и ногах, за основание принималось число 20. Счет по пальцам ног был вполне естественным для теплых стран, где люди ходили босиком. Во многих языках, например в греческом, латыни и арабском, пальцы на руках и на ногах называются одним словом; если требуется уточнение, последние называются «пальцами ног». Как говорится, добродетель посередине. Народы, чьим культурным шаблонам суждено было доминировать над остальными, бессознательно сошлись на использовании десятков. Откуда нам известны основания систем счисления первобытных людей? Следы без труда можно отыскать в языках, пусть даже наша десятеричная система явно представлена нашими числительными. Более того, отчасти благодаря самим словам понадобилось и было инстинктивно создано основание системы счисления. Основание делает возможным в случае необходимости периодически использовать одни и те же слова, с небольшими изменениями; без него потребовалось бы бесконечное множество слов. Так, во многих европейских языках, для того чтобы вслух досчитать до ста, требуется 19 слов: «один», «два»… «десять»; «двадцать»… «девяносто»; «сто». Необходимо помнить несколько вариаций для второго десятка: «одиннадцать», «двенадцать», «тринадцать»… «девятнадцать». Для того чтобы досчитать до 999 999, необходимо добавить всего еще одно слово: «тысяча».

Стихийное стремление ведущих держав к десятеричной системе счисления прекрасно, но, в конечном счете, намного прекраснее чудесная симметрия каждого языка. Подобные вещи поражают воображение! Чем объяснить бессознательное параллельное развитие таких сложных структур – и не в одном месте, а повсюду, где развивается человек? Каждый язык демонстрирует не идеальную симметрию, подобную симметрии геометрического чертежа, но симметрию во многом несовершенную, подобную дереву или красивому телу – живую симметрию.

Как подсчитывались результаты первобытной переписи? Допустим, что каждый считаемый предмет представлен прутиком и что принято десятеричное основание системы счисления.

Делаются пучки по десять прутиков в каждом; общее число прутиков в десять раз превышает количество пучков. Если пучков оказывалось слишком много, человеку, производившему подсчеты, возможно, и пришло бы на ум заменять каждый пучок более длинным прутиком, своего рода «суперпрутиком», и составлять из них новые «суперпучки» по десять пучков в каждом. Если бы подсчитывающий обладал математическим умом и пошел на такой шаг, он мог повторять операцию по мере необходимости. Признав десятки, он мог признать сотни, тысячи, десятки тысяч и так далее, создавая для новых понятий новые слова, а также новые символы. Не забывайте, что количество новых необходимых слов (или символов) стремительно сокращается. Скорее всего, прошло очень много времени, прежде чем для подсчетов понадобилось слово «миллион», и мы сейчас лишь начинаем с известной частотой применять слово «миллиард».

То, что мы называем основными арифметическими действиями (сложение, вычитание, умножение и деление), возникло естественно, если не эксплицитно, из самого процесса перечисления и распределения совокупностей. Идея вычитания также возникла в случаях, когда числа немного меньше круглых и легче подойти к ним сверху, чем снизу, сказать, например, что предметов на 2 меньше, чем 20, а не 18, на 1 меньше 100, чем 99, на 300 меньше 10 000, чем 9700. Доказательствами служат слова (сотворенные народом!) duo-deviginti («без двух двадцать») и undecentum («без одного сто», «один до ста») в латыни, а также triacoston apodeonta myria в греческом; они обозначают соответственно 18, 99, 9700.

Мы допускали, что первые подсчеты производились при помощи прутиков и других предметов, например камушков (calculi на латыни, отсюда «калькуляция», «калькулятор» и т. д.). Кроме того, подсчеты производились при помощи узлов на веревках или зарубок на палочках. Естественно, одни и те же периоды возникали вновь и вновь. Человек, который, пусть и бессознательно, мыслил десятеричным ритмом, делал зарубку подлиннее для десятка и еще длиннее – для сотни; цифры, которые приближались к более длинным зарубкам, легче можно было понять при помощи вычитания из этих зарубок.

Понятия ритма и шаблона появились по необходимости, когда пришлось вести более осязаемый счет в процессе создания орнаментов и украшений. Самые простые измерения, которые требовались при сооружении алтаря или строительстве дома, возможно, вызвали к жизни первые геометрические представления, ибо для того, чтобы красиво украсить различные предметы или тело, требовались не только отдельные измерения, но и полный их спектр плюс по возможности много симметричных и периодических комбинаций декоративных элементов. Лучшей учительницей стала мать-природа; бесконечные узоры, которые можно наблюдать, например, в деревьях, листьях, цветах, у птиц, змей и т. д., становились источником вдохновения для людей, развивших в себе любовь к прекрасному. Некоторые дошедшие до нас рисунки времен палеолита выполнены подлинными художниками. Узоры на керамике и тканях, которые можно видеть в антропологических музеях, доказывают живость воображения и изобретательность наших предков. Ремесленники были способны не только создавать чрезвычайно сложные узоры. Они виртуозно вносили в них изменения; им хватало тонкости осознать ценность небольших отклонений. При создании любой художественной композиции требуется решение, пусть и приблизительное, многочисленных геометрических задач.

Измерить расстояние и разделить его было достаточно легко, скажем, при помощи веревки, которую можно сложить вдвое, вчетверо и т. д. Сложнее было оценить относительное расстояние между звездами знакомого созвездия или изменение расстояния до движущегося небесного тела (планеты), которое приближалось к чему-то неподвижному. Скорее всего, первые «ученые» измеряли эти расстояния тоже с помощью веревок. В таком случае они вскоре наверняка заметили, что расстояние, которое требовалось измерить, уменьшалось, если поднести веревку ближе к глазам. Наконец, какому-то доисторическому Ньютону пришло в голову, что астрономические расстояния – не линейные, а угловые. Понятие угла стало геометрическим и астрономическим изобретением фундаментальной значимости.

Недостаточно произвести измерения; их необходимо выразить, что подразумевало выбор единиц. Недостаточно выбрать единицы; необходимо их сохранить. Сохранение стандартных единиц стало, наверное, одним из первых шагов в научной организации, хотя, естественно, процесс шел так же бессознательно, как и прочие первые шаги. Похоже, почти каждый