кратное ему, значит, само число без остатка делится на 9. Вот почему, если умножить любое число на 9 или число, кратное ему, цифры числа, полученного в результате умножения, должны давать в сумме 9 (пока не получится однозначное число). Например, вам необходимо проверить, правильно ли решен следующий пример:

135 х 83615 = 11288025

Сложим цифры первого множителя:

1 + 3 + 5 = 9

Чтобы проверить ответ, не нужно складывать цифры второго множителя (83615), поскольку нам известно, что сумма цифр числа 135 дает 9. Если ответ верен, его цифры также должны давать в сумме 9.

Найдем сумму цифр ответа:

1 + 1 + 2 + 8 + 8 + 0 + 2 + 5 =

Можно вычеркнуть 8 + 1 дважды, остается 2 + 2 + 5, что дает 9. Итак, проверка показала, что ответ верен.

Можно обнаружить и другие интересные вещи.

Если цифры числа дают в сумме отличное от 9 число, тогда оно является тем остатком, который вы получите в результате деления исходного числа на 9.

Возьмем, к примеру, 14. 1 плюс 4 дает 5. Итак, 5 — это сумма цифр числа 14. Это остаток, который вы получите, если разделите 14 на 9. Проверим: 14 один раз делится на 9, а остаток составляет 14 — 9, что дает 5. Если прибавите 3 к числу, вы прибавите 3 к остатку от деления этого числа на 9. Если удвоить число, опять-таки, удвоится остаток. Иными словами, что бы вы ни делали с числом, вы делаете это с остатком от деления на 9, поэтому такие остатки могут служить числами-подстановками.

Почему мы используем остатки от деления на 9? Разве нельзя использовать остатки от деления, например, на 17? Конечно, можно, однако деление на 17 представляет собой такое хлопотное дело, что проверка правильности полученного ответа в итоге окажется сложнее, чем сама задача. Мы выбираем число 9, поскольку существует простой способ для определения остатка от деления на него.

Более подробно о том, почему данный метод работает, вы узнаете в приложении Д.

Глава 5

Умножение: часть вторая

В главе 1 мы узнали, как перемножать числа, используя простой метод, превращающий эту операцию в незатейливое занятие. Он легок в применении, когда множители являются числами, расположенными недалеко от 10 или 100. А как насчет перемножения чисел, находящихся вблизи 30 или 60? Можно ли и для них использовать изученный метод? Безусловно.

Мы выбирали числа 10 и 100 в качестве опорных, поскольку на них легко умножать. Метод будет прекрасно работать и с другими опорными числами, однако надо стараться выбирать те из них, на которые легко умножать.

Умножение по множителям

Легко умножать на 20, поскольку 20 равно 2 х 10, на которые умножать очень легко. Речь идет об умножении по множителям, а 10 и 2 являются множителями числа 20.

10 х 2 = 20

Рассмотрим пример:

23 х 24 =

23 и 24 больше, чем опорное число 20, поэтому рисуем кружки над множителями. Больше, но на сколько? На 3 и 4 соответственно. Вписываем эти числа в соответствующие кружки, которые мы нарисовали вверху, потому что речь идет о положительных числах (23 = 20 + 3, 24 = 20 + 4).

Складываем накрест, как раньше:

23 + 4 = 27 или 24 + 3 = 27

Теперь умножим полученный ответ на опорное число 20. Для этого умножим сначала на 2, а потом на 10:

27 х 2 = 54

54 х 10 = 540

(Позднее в этой же главе мы рассмотрим простой способ умножения 27 на 2.) В остальном все то же самое. Перемножаем числа в кружках и прибавляем к промежуточному результату 540.

3 х 4 = 12

540 + 12 = 552

Полностью решенный пример выглядит так:

Проверка ответов

Применим то, чему мы научились в главе 4, чтобы проверить, верный ли получили ответ:

Числами-подстановками для 23 и 24 будут 5 и 6 соответственно.

5 х 6 = 30

3 + 0 = 3

3 — это наше контрольное число.

Цифры исходного ответа (552) дают в сумме 3:

5 + 5 + 2 = 12

1 + 2 = 3

Полученное число равно контрольному, значит, ответ мы получили верный.

Попробуем решить еще один пример:

23 х 31 =

Пишем 3 и 11 в кружках над 23 и 31, поскольку наши множители больше опорного числа 20 на 3 и 11 соответственно.

Складывая накрест, получаем 34:

31 + 3 = 34 или 23 + 11 = 34

Умножаем полученный ответ на опорное число 20. Для этого сначала умножим 34 на 2, а то, что получится, — на 10.

34 х 2 = 68

68 х 10 = 680

Это наш промежуточный ответ. Теперь перемножаем числа в кружках:

3 х 11 = 33

Прибавим 33 к 680:

680 + 33 = 713

Полностью решенный пример выглядит следующим образом:

Проверку ответа осуществляем с помощью выбрасывания девяток.

Перемножим числа-подстановки, а затем суммируем цифры ответа:

Это совпадает с нашим контрольным числом, поэтому 713 можно считать верным ответом.

Вот несколько примеров, которые предлагаются вам для самостоятельного решения. Когда закончите, проверьте полученные вами ответы выбрасыванием девяток.

а) 21 х 26 = ___; б) 24 х 24 = ___; в) 23 х 23 = ___; г) 23 х 27 = ___; д) 21 х 36 = ___; е) 26 х 24 = ___

Вы должны уметь решать эти примеры в уме. Это нетрудно, если немного попрактиковаться.

Умножение чисел меньше 20

А как насчет перемножения чисел, которые меньше 20? Если они (или хотя бы одно из них) больше 15, но меньше 20, можно использовать 20 в качестве опорного числа. Решим пример:

Взяв 20 в качестве опорного числа, получим:

Вычитаем накрест:

16 — 1 = 15 или 19 — 4 = 15

Умножаем на 20:

15 х 2 = 30

30 х 10 = 300

300 является нашим промежуточным ответом.

Теперь