Чтобы такого не происходило, навигаторам пришлось научиться немного врать и в том числе давать разным людям чуть-чуть отличающуюся информацию. Равно как агрегаторы такси иногда доплачивают водителям, которые направляются в районы, где через некоторое время ожидается повышенный спрос. Но оптимальные тарифы на такси – это отдельная обширная тема, а мы рассмотрим более простой пример, демонстрирующий, что введение дополнительных мощностей в сеть может снизить общую производительность. Этот пример известен в литературе как парадокс Браесса. Изложим его на примере представленной на рис. 1.6 дорожной сети.

Рис. 1.5. Схема движения в примере с чередующимися пробками

Пусть от города A к городу B можно добраться двумя дорогами, ведущими через пункты C и D соответственно. При этом участки AD и CB представляют собой многополосные объездные трассы, лишенные пробок, но довольно протяженные, чтобы время в пути составляло 45 минут. Напротив, участки AC и DB достаточно коротки, однако на них часто случаются пробки, и время в пути связано с долей трафика x по соответствующей дороге формулой 40x. Это означает, что если по дороге поедут все (x = 1), то она займет 40 минут, а если половина (x = 0,5), то только 20. Поскольку северный и южный путь полностью симметричны, трафик в равновесии распределяется ровно пополам и добраться как по маршруту ACB, так и по маршруту ADB можно за 45 + 20 = 65 минут.

Чтобы улучшить транспортное сообщение, пункты C и D, находящиеся на разных берегах реки, было решено соединить мостом, позволяющим за пару минут проехать в любом направлении (рис. 1.7). Будет ли кто-то теперь ездить по многополосным объездным AD и CB? Нет. Ведь движение по ним занимает целых 45 минут. В то же время на короткий путь AC или DB даже в случае жестоких пробок придется потратить не более 40. А значит, и с учетом двухминутного переезда по мосту CD, он оказывается всегда быстрее (42 < 45).

Рис. 1.6. Первоначальная схема движения в парадоксе Браесса

Что в итоге? Все автомобилисты, которым нужно добраться из A в B, едут по маршруту ACDB, затрачивая 40 + 2 + 40 = 82 минуты, что на 17 минут больше, чем во времена до строительства моста. Хуже становится всем, но никто в индивидуальном порядке не может изменить ситуацию, поскольку другие маршруты еще более долгие. А значит, разумным действием будет уничтожение моста или, в более мягком варианте, его закрытие для движения машин и превращение в пешеходную зону.

На самом деле есть варианты и еще более эффективные. Например, сделать проезд по мосту платным. Достаточно дорогим, чтобы большинство от него отказывалось и по-прежнему пользовалось бесплатными вариантами ACB и ADB. Но приемлемым по цене для тех, кто спешит. Чтобы те, для кого утверждение «время – деньги» особенно актуально, могли добраться по маршруту ACDB за 20 + 2 + 20 = 42 минуты.

Рис. 1.7. Обновленная схема движения в парадоксе Браесса

Насколько реалистична реализация парадокса Браесса в реальной жизни? Примеры этого не очень многочисленны, но существуют. В частности, было показано, что еще в 1960-х годах в Штутгарте после закрытия для движения участка одной из новых дорог улучшилось транспортное сообщение в городе. Аналогично в 1990 году после закрытия 42-й улицы в Нью-Йорке в центре Манхэттена существенно уменьшилось количество пробок.

Ну а чтобы далеко не ходить, приведем пример парадокса Браесса в Московском муниципальном образовании «Метрогородок» в 1992–1994 годах. Схему изобразим на рис. 1.8 (конечно, с учетом поправки, что в те времена Северо-Восточной хорды не было еще и в зародыше).

Рис. 1.8. Парадокс Браесса в Метрогородке

Первоначально в период утренних московских пробок среднее время проезда по Щелковскому шоссе от МКАД до проспекта Ветеранов в сторону ВДНХ составляло 1 час. В определенный момент была заасфальтирована лесная дорога (участок выделен пунктиром), ведущая туда же через Метрогородок и позволяющая добираться по тому же маршруту вдвое быстрее, то есть за полчаса. Пропускная способность этого пути была на порядок меньше, чем у Щелковского шоссе, поэтому небольшой процент машин, желающих срезать, совершенно не разгрузил основную трассу. Однако из-за них жители Метрогородка встали в отсутствовавшей прежде 30-минутной пробке, время которой, кстати, было легко предсказать. Ведь 30 минут – это как раз разница между часовым проездом по Щелковскому шоссе и получасовым объездом.

В завершение покажем еще одну вариацию парадокса Браесса. Вариацию, предложенную Юрием Нестеровым, за которую тот, в числе прочего, был удостоен одной из самых престижных наград в области методов оптимизации – премии Данцига 2000 года.

Пусть дорожная схема между городами A и B имеет вид, представленный на рис. 1.9. Изображенные сверху объездные участки имеют высокую пропускную способность и на проезд по ним в любом случае тратится 40 минут. Короткие нижние трассы могут свободно пропустить только половину трафика, в этом случае прохождение участка занимает 20 минут. Если же машин становится больше, возникает пробка, которая в худшем случае увеличивает время прохождения участка еще на 20 минут, то есть до 40 минут.

Заметим тем не менее, что даже при самой сильной пробке короткая трасса выглядит предпочтительнее объезда, а значит, все водители захотят проходить оба участка AC и CB по прямой. В итоге время прохождения пути от A до B составит 40 + 40 = 80 минут.

Рис. 1.9. Парадокс Браесса в вариации Нестерова

Однако если в пункте C поставить знак, запрещающий прямое движение, всем можно будет сэкономить по 20 минут. Половина водителей будет ехать по первой объездной, половина – по второй. Пропускные способности коротких трасс не будут превышены, время движения по ним будет составлять 20 минут, а значит, маршрут AB будет пройден всеми водителями за 40 + 20 = 60 минут. Так что запреты иногда оказываются очень полезными, причем (на это следует обратить особое внимание) абсолютно для всех участников взаимодействия.