Если делитель оканчивается на 5, то сначала его следует разделить на 5, а затем использовать самый подходящий из двух методов.

Если делитель оканчивается на 7, то после умножения на 3 мы получаем число, оканчивающееся на 1, и легко определяем отрицательный вспомогательный множитель.

Наконец, если делитель оканчивается на 9, то после прибавления к нему 1 мы берем число, стоящее перед последним нулем в полученной сумме, в качестве положительного множителя.

Приложение Г

В чем секрет метода

Умножение при помощи кружков

В чем секрет данного метода?

Во-первых, позвольте мне объяснить это «по-простому».

Найдем произведение 99 х 85.

Стандартный способ заключается в следующем.

99 — это почти 100, поэтому умножим на 100 и вычтем 85.

85 х 100 = 8500

Теперь мы должны вычесть 85. Каким простым способом это можно сделать? Вычесть 100 и прибавить 15.

8500 — 100 =

8400  8400 + 15 = 8415

Не похоже ли это на наш метод с кружками?

Решая тот же пример (99 х 85) с кружками, мы вычитаем 1 из 85, получая 84, и умножаем на 100, что дает 8400. Затем, поскольку мы вычли одну сотню, мы один раз прибавляем к результату 15.

Вычисляя произведения 98 х 85, мы могли бы умножить на 100, а затем дважды вычесть 85.

85 х 100 = 8500

Вычтем дважды по 85 из полученного результата. Как легче всего это сделать?

Вместо того чтобы находить сумму 85 + 85 и вычитать ее из 8500, отнимем дважды по 100 и прибавим также дважды по 15. Вычитание 200 из 8500 дает нам 8300.

Чтобы не прибавлять сначала 15, а затем опять 15, просто вспомним, что 2 на 15 равно 30, и прибавим сразу 30. В ответе получаем 8330.

Можно распространить данное рассуждение на произведение чисел меньше 10.

9 х 8 =

Произведение 10 х 8 дает 80, после чего вычитаем 8 и получаем 72. С помощью кружков решение выглядит следующим образом:

Вычислим еще одно произведение:

Если умножить 10 на 7 и затем вычесть произведение 2 х 7 из полученного результата, то можно увидеть связь между обоими методами. Произведение 10 х 7 равно 70. Легкий способ вычесть дважды по 7 состоит в том, чтобы отнять дважды по 10, а затем прибавить дважды по 3.

Это то, что я назвал «простым» способом объяснить, почему метод перемножения с помощью кружков работает. Даже ученики начальной школы поймут приведенные рассуждения — особенно как следует потренировавшись в решении примеров, предложенных в настоящей книге.

Алгебраическое объяснение

Теперь приведу алгебраическое объяснение.

13 х 14 =

Рассмотрим пример:

Обозначим буквой а опорное число, в данном случае 10, а буквами b и с цифры единиц, или числа в кружках, в данном случае 3 и 4.

Произведение теперь может быть записано следующим образом:

(а + b) х (а + с)

Перемножая (a + b) х (a + с), получаем:

а2 + ab + ас + bc

Первые три члена делятся на а, поэтому можем вынести а за скобки.

а (а + b + с) + bc

Подставляя соответствующие числовые значения, получаем:

(10 + 3) х (10 + 4) =

10 (10 + 3 + 4) + (3 х 4) =

10 х 17 + 12 =

170 + 12 = 182

В вышеприведенной формуле b и с могут представлять собой либо положительные, либо отрицательные числа, в зависимости от того, где (вверху или внизу) нарисованы кружки. В произведении 7 х 8 b и с были бы отрицательными числами.

Формулу удобно применять для возведения в квадрат чисел, близких по значению к 50 и оканчивающихся на 5.

Два опорных числа

Можно записать формулу следующим образом:

(а + b) х (ха + с)

Здесь a — опорное число, b и c — числа в кружках, а x — множитель.

Раскрывая скобки, получаем:

xa2 + xab + ac + bc

Первые три члена делятся на a, поэтому формулу можно упростить следующим образом:

а (xa + xb + с) + bc

Рассмотрим формулу на конкретном примере:

13 х 41 =

Нашим основным опорным числом является 10, а вторым — 40, то есть 4 х 10. Числа в кружках — 1 и 3. Пример можно записать следующим образом:

Имеем:

a = 10 (основное опорное число)

b = 3 (число в кружке над 13)

с = 1 (число в кружке над 41)

x = 4 (множитель)

Подставив числа в формулу, получаем:

a (xa + xb + с) + bc

10 (4 х 10 + 4 х 3 + 1) + (3 х 1) = 10 (40 + 12 + 1) + (3 х 1) =

= 10 х 53 + 3 = 530 + 3 = 533 ОТВЕТ

Полностью решение выглядит так:

Формулы для возведения в квадрат чисел, оканчивающихся на 1 и 9

1. Возведение в квадрат чисел, оканчивающихся на 1

Чтобы возвести в квадрат 31, сначала возводим в квадрат 30, получая 900.

Затем удваиваем 30, что дает нам 60, и прибавляем это число к предыдущему результату.

900 + 60 = 960

Теперь прибавляем 1.

960 + 1 = 961

Это простое вычисление сродни умножению в столбик или прямому умножению.

Для нахождения произведения 31 х 31 можно также использовать следующую алгебраическую формулу:

(а + 1)2 = (а + 1) х (а + 1)

(а + 1) х (а + 1) = а2 + 2а + 12

В нашем случае (312) a = 30.

Возводим 30 в квадрат, получая 900. Затем удваиваем а, как того требует формула, и получаем 60. Нам не нужно возводить в квадрат 1, поскольку единица, сколько ее ни умножай на саму себя, остается единицей.

Польза от данной формулы в том, что она превращает процесс умножения в простую последовательность и позволяет производить вычисления в уме.

2. Возведение в квадрат чисел, оканчивающихся на 9

При возведении в квадрат чисел, оканчивающихся