1) из любой вершины существует путь в любую другую вершину, проходящий по ребрам;

2) любой путь, составленный из ребер, который начинается и заканчивается в одной и той же вершине и не заходит ни в какую вершину дважды (напомним, что такой путь называется циклом), разбивает многогранник на две части.

Прозорливому критерию Штаудта удовлетворяют многие невыпуклые многогранники. Например, на рис. 15.7 показано два многогранника очень сложной формы. Первый, как выясняется, удовлетворяет всем условиям Штаудта (для него V = 48, E = 72, F = 26, так что 48–72 + 26 = 2). А второй — нет. Разрез по выделенной линии не разбивает этот многогранник на две части (для него V = 40, E = 60, F = 20, так что 40–60 + 20 = 0).

Рис. 15.7. Два многогранника сложной формы

Затем Штаудт привел красивое рассуждение, доказывающее, что для любого многогранника, удовлетворяющего этим условиям, должна выполняться формула Эйлера. Мы дадим краткий набросок данного доказательства.

Покрасим какую-нибудь вершину многогранника в красный цвет. Начав с этой вершины, покрасим одно из инцидентных ей ребер и другую его вершину в красный цвет (на рис. 15.8 этот процесс показан для куба, где жирными сплошными линиями выделены красные ребра). Затем выберем одну из двух красных вершин и покрасим инцидентное ей ребро и другую его вершину в красный цвет. Продолжим такое окрашивание ребер и вершин, соблюдая одно важное условие: не создавать красных циклов. Рано или поздно этот процесс завершится. Для любого многогранника, удовлетворяющего условиям Штаудта, это случится в точности тогда, когда все вершины будут покрашены в красный цвет. Поскольку во множестве красных ребер нет циклов, оно образует дерево и, как видели ранее (рис. 13.3 и относящийся к нему текст), красных ребер должно быть V — 1.

Рис. 15.8. Два дерева в доказательстве Штаудта

Теперь поместим внутрь каждой грани синюю вершину. Проведем синее ребро, соединяющее синюю вершину с соседней синей вершиной, если только они не разделены красным ребром (синие ребра показаны штриховыми линиями на рис. 15.8). И снова для многогранника, удовлетворяющего условиям Штаудта, получившийся синий граф будет деревом. В этом синем дереве F вершин, поэтому оно состоит из F — 1 ребер. Ключевое наблюдение заключается в том, что каждое ребро исходного многогранника либо красное, либо пересекается с синим ребром. Поэтому общее число ребер равно сумме числа красных и синих ребер:

E = (V — 1) + (F — 1),

что после изменения порядка членов дает V — E + F = 2.

Сделаем паузу — вернемся к трем исключениям Люилье (см. рис. 15.1) и убедимся, что они не удовлетворяют определению многогранника, данному Штаудтом. Первый многогранник Люилье имеет кольцевую грань. Поскольку невозможно пройти от наружных ребер кольца к внутренним, условие не выполнено. Заметим, что этот многогранник можно изменить, так что он будет отвечать определению Люилье. Для этого достаточно добавить искусственное ребро, соединяющее внутреннюю часть кольцевой грани с внешней (как на рис. 15.9 слева).

Рис. 15.9. Изменение кольцевой грани и разрезание тора

Второй многогранник имеет туннель, проходящий через центр. Он не удовлетворяет условию 2, потому что, как видно по рис. 15.9, можно сделать разрез, проходящий по циклу ребер, так что многогранник не распадется на две части. В 1879 году Р. Хоппе заметил: «Допустим, что многогранник сделан из материала, который легко режется, например из мягкой глины. Протащим нить через туннель, а потом сквозь глину. Многогранник не развалится»135. Напомним, что Люилье не дал точного определения туннеля. Хоппе воспользовался идеями из статьи Штаудта, чтобы исправить эту ситуацию. Он определил туннель в терминах количества разрезов, которые необходимо сделать, чтобы поверхность распалась на части. Мы вернемся к этой идее в главе 17.

Ну, и третье исключение Люилье тоже легко отметается. Ведь в нем предполагается, что в многограннике имеется многогранная же полость, но это имеет смысл только для сплошных многогранников, тогда как Штаудт предполагал, что многогранники полые. Но даже если допустить сплошные многогранники, все равно условие 1 не выполняется, потому что не существует ребер, соединяющих внутренние вершины с внешними. Хотя исключения Гесселя удовлетворяют обоим условиям Штаудта, он, как и большинство математиков, не считал их многогранниками.

Интуитивно понятно, что многогранники, удовлетворяющие критериям Штаудта, — те, которые «похожи на сферу» и такие, что граница любой грани представляет собой один многоугольник. Многогранник не обязан быть выпуклым, но не может иметь туннелей. Если бы такой многогранник был сделан из резины, то, надув его, мы получили бы сферу.

Этот плодотворный диалог об эйлеровых и неэйлеровых многогранниках, состоявшийся в первой половине XIX века, подготовил сцену для рождения топологии. Эти идеи были развиты другими математиками, и кульминацией стало замечательное обобщение формулы Эйлера, полученное в конце XIX века Пуанкаре. Мы обсудим это развитие в главах 17, 22 и 23.

Приложения к главе

123. Quoted in Federico (1982), 71.

124. Sommerville (1958), 143-44.

125. de Jonquieres (1890).

126. Speziali (1973).

127. Pont (1974), 24.

128. Lhuilier (1813).

129. Hessel (1832).

130. Poinsot (1810).

131. Cauchy (1813a).

132. Lhuilier (1813).

133. Steiner (1826).

134. von Staudt (1847), 18–23.

135. Hoppe (1879).

Глава 16

Резиновые листы, полые бублики и безумные бутылки

Некто Клейн, не любивший вина,

Раз придумал бутылку без дна.

Восклицал он: «К тому же

Что внутри — в ней снаружи!

Даже пробка совсем не нужна!»

— Анонимный автор

К середине XIX века математики гораздо лучше понимали, как формула Эйлера применяется к многогранникам. Именно в то время они начали задаваться вопросом, применима ли она к другим объектам. Что, если мы говорим не о многограннике с плоскими гранями, а об изогнутой поверхности, например сфере или торе? И как в этом случае должно выглядеть разбиение? Напомним, что в 1794 году Лежандр воспользовался разбиением сферы на геодезические многоугольники, а Кэли показал, что, когда формула Эйлера применяется к графам, ребра необязательно должны быть прямолинейными.

Эти дискуссии знаменуют переход от геометрии к топологии. В популярной литературе часто встречается выражение «геометрия на резиновом листе», когда нужно рассказать, что такое топология, людям, незнакомым с этим термином. Хотя математики-буквалисты будут возмущены таким чрезмерным