экспоненциальном росте скоростей компьютеров потребуются многие годы, чтобы факторизовать числа из 500 цифр, а к тому времени наши потомки могут просто выбрать еще большие p и q. При этом, вероятно, никого не удивит, что атаки тоже совершенствуются — на сегодняшний день их скорость значительно возросла.

На илл. 8.19 приведен тривиальный учебный пример работы алгоритма RSA. Здесь p = 3 и q = 11, что дает значения n = 33 и z = 20 (так как (3 – 1) ×× (11 – 1) = 20). Число d можно выбрать равным 7, так как числа 20 и 7 не имеют общих делителей. Значение e можно найти, решив уравнение 7e = 1 (mod 20), откуда следует, что e = 3. Зашифрованный текст C получается из открытого сообщения P по формуле C = P3 (mod 33). Получатель расшифровывает сообщение по формуле P = C7 (mod 33). В качестве примера на рисунке показано шифрование слова «SUZANNE».

Илл. 8.19. Пример работы алгоритма RSA

Поскольку выбранные для этого примера простые числа настолько малы, P должно быть меньше 33, поэтому каждый блок открытого текста может содержать лишь одну букву. В результате получается моноалфавитный подстановочный шифр, что не слишком впечатляет. Если бы вместо этого мы выбрали числа p и q ≈ 2512, мы бы получили n ≈ 21024. Тогда каждый блок мог бы содержать до 1024 бит или 128 восьмиразрядных символов против 8 символов в случае метода DES или 16 символов для AES.

Отметим, что такое использование RSA аналогично применению симметричного алгоритма в режиме ECB, в котором одни и те же блоки на входе преобразуются в одинаковые блоки на выходе. Таким образом, для шифрования данных требуется сцепление блоков в том или ином виде. Но на практике RSA с открытым ключом используется только для передачи одноразовых 128- или 256-битных сеансовых ключей, после чего задействуется алгоритм с симметричным ключом наподобие AES. Система RSA слишком медленная, чтобы шифровать большие объемы данных, однако она широко применяется для распространения ключей.

8.6.2. Другие алгоритмы с открытым ключом

Хотя RSA по-прежнему популярен, это далеко не единственный известный алгоритм с открытым ключом. Первым таким алгоритмом стал алгоритм на основе задачи о рюкзаке (knapsack algorithm) Меркла и Хеллмана (Merkle and Hellman, 1978). Его принцип заключается в следующем. Допустим, имеется очень большое количество объектов разного веса. Их владелец кодирует сообщение, выбирая подмножество вещей и помещая их в рюкзак. Известен общий вес объектов в рюкзаке, а также список всех возможных объектов и их вес по отдельности. Список вещей в рюкзаке хранится в секрете. Считалось, что при некоторых дополнительных ограничениях определить возможный список объектов по известному общему весу невозможно путем вычислений. Поэтому эта задача легла в основу алгоритма с открытым ключом.

Разработчик алгоритма Ральф Меркл (Ralph Merkle) был настолько уверен в его надежности, что предложил $100 любому, кто сумеет его взломать. Ади Шамир («S» в группе RSA) мгновенно взломал его и получил награду. Это не смутило Меркла. Он усилил алгоритм и предложил за его взлом уже $1000. Рон Ривест («R» в группе RSA) тут же взломал улучшенную версию и получил награду. Леонард Адлеман («A» в группе RSA) остался без награды, поскольку Меркл уже не рискнул предложить $10 000 за взлом следующей версии. Несмотря на то что алгоритм рюкзака был в очередной раз исправлен, он не считается надежным и не используется на практике.

Остальные алгоритмы с открытым ключом основаны на сложности вычисления дискретных логарифмов или значений эллиптических кривых (Менезес и Ванстоун; Menezes and Vanstone, 1993). Первые были разработаны Эль Гамалем (El Gamal, 1985) и Шнорром (Schnorr, 1991). Вторые используют раздел математики, известный в очень узких кругах, — теорию эллиптических кривых.

Существует и ряд других схем, однако алгоритмы, использующие сложность факторизации больших чисел, вычисления дискретных логарифмов, разделенных по модулю на большое простое число, и значений эллиптических кривых, безусловно, являются самыми важными. Эти задачи считаются по-настоящему сложными, так как математики пытаются их решить уже много лет без особого успеха. Эллиптические кривые здесь представляют особый интерес, поскольку задачи дискретного логарифмирования на такой кривой еще сложнее, чем задачи разложения на множители. Голландский математик Арьен Ленстра (Arjen Lenstra) предложил сравнивать криптографические алгоритмы по количеству энергии, которая тратится на их взлом. По его расчетам, чтобы взломать 228-битный RSA-ключ, требуется примерно столько же энергии, сколько нужно для того, чтобы вскипятить одну чайную ложку воды. Однако в случае ключа той же длины на базе эллиптической кривой на взлом уйдет столько же энергии, сколько нужно для того, чтобы вскипятить всю воду на планете. Перефразируя Ленстра, можно сказать, что даже испарив всю воду (включая воду в их телах), взломщики вряд ли добьются успеха.

8.7. Цифровые подписи

Подлинность документов (юридических, финансовых и др.) определяется наличием или отсутствием авторизованной собственноручной подписи (фотокопии не в счет). Чтобы компьютерные системы обмена сообщениями могли заменить пересылку бумажных документов, необходимо решить проблему подписи, исключив возможность подделки.

Задача разработки замены для подписи от руки довольно сложна. По сути, требуется система, с помощью которой одна сторона может отправить другой стороне подписанное сообщение, при этом:

1. Получатель может проверить заявленную личность отправителя.

2. Позднее отправитель не может отрицать содержание отправленного сообщения.

3. Получатель не имеет возможности изменить сообщение.

Первое требование имеет большое значение, к примеру, для финансовых систем. Когда компьютер клиента передает компьютеру банка заказ на покупку тонны золота, тот должен быть уверен, что устройство, с которого пришел запрос, действительно принадлежит данному клиенту, прежде чем снимать деньги с его счета. Другими словами, банк должен аутентифицировать клиента (и наоборот).

Соблюдение второго условия требуется для защиты банка от мошенничества. Предположим, что банк покупает заказанную тонну золота, после чего цена на этот металл резко падает. Недобросовестный клиент может подать на банк в суд, заявляя, что никогда не заказывал покупку. Банк может предъявить суду письмо с заказом, но клиент будет отрицать его подлинность. Свойство, при котором стороны не могут отрицать факт подписания контракта, называется неотказуемостью (nonrepudiation). Схемы цифровых подписей, которые мы изучим далее, помогают ее обеспечить.

Третье требование необходимо для защиты клиента. Если цена на золото после его покупки банком резко взлетает, банк может создать подписанное сообщение, в котором клиент заказывает не тонну золота, а один слиток. При таком сценарии банк, совершив мошенничество, забирает оставшуюся часть золота себе.

8.7.1. Подписи с симметричным ключом

Один из