площадь = а1 +… + an — (n — 2)π = а1 +… + аπ — nπ + 2π.

Запомнить эту формулу просто. Изобразим многоугольник, как показано на рис. 10.9. Рядом с каждым углом напишем его величину, рядом с каждым ребром —π, а в центре 2π. Площадь многоугольника равна сумме этих величин. Это наглядное представление окажется полезным для понимания доказательства Лежандра.

Рис. 10.8. Сферический многоугольник, разбитый на треугольники

Рис. 10.9. Площадь сферического многоугольника равна сумме величин на рисунке

Вот теперь, наконец, мы готовы привести рассуждение Лежандра. Начнем с выпуклого многогранника, имеющего V вершин, E ребер и F граней. Пусть x — произвольная точка внутри него. Как показано на рис. 10.10, построим сферу с центром в x, внутри которой целиком заключен многогранник. Поскольку конкретные единицы измерения не имеют значения, мы можем выбрать их так, что радиус сферы будет равен единице. Спроецируем многогранник на сферу, проведя лучи, исходящие из точки x. Чтобы наглядно представить себе эту проекцию, можно рассмотреть проволочную модель многогранника и поместить в x лампочку. Тогда проекцией будет тень проволочного каркаса на поверхности объемлющей сферы. Мы не станем доказывать этот факт, а просто отметим, что в этом случае грани многогранника отображаются в геодезические многоугольники.

В своем доказательстве Лежандр использовал стандартный математический прием. Он вычислил одну и ту же величину — в данном случае площадь единичной сферы — двумя разными способами, установив тем самым некое равенство. Сначала он воспользовался хорошо известным фактом — площадь единичной сферы равна 4π. А затем он сложил площади всех граней на сфере, которые в сумме, естественно, составляют полную площадь поверхности.

Рис. 10.10. Проекция многогранника на сферу

По теореме Хэрриота-Жирара, площадь каждой π-угольной грани равна сумме внутренних углов минус nπ — 2π. Вместо того чтобы работать с этой формулой непосредственно, мы воспользуемся наглядным представлением на рис. 10.9. Пометим все углы, ребра и грани на сфере — рядом с каждым углом поместим его величину, рядом с каждым ребром —π, а в центре каждой грани 2π. В результате получится картина, изображенная на рис. 10.11. Чтобы вычислить площадь сферы, просуммируем величины всех меток.

Рис. 10.11. Проекция с метками

Хотя сумма углов при любой вершине многогранника меньше 2π, после проецирования на гладкую поверхность сферы эти углы в сумме дают 2π. Поскольку всего вершин V, они вносят в сумму вклад 2πV. Каждое ребро вносит вклад –2π: —π с одной стороны и —π с другой. Поскольку всего ребер E, их общий вклад составляет –2πЕ. В середине каждой грани находится метка 2π. Поскольку всего граней F, они привносят в сумму величину 2πF. Складывая все вместе, находим, что полная площадь сферы равна

4π = 2πV — 2πЕ +2πF.

Поделив на 2π, получаем формулу Эйлера:

2 = V — E + F.

Сразу видно, что доказательства Эйлера и Лежандра совершенно разные. С одной стороны, кажется, что доказательство Эйлера «правильное» или, по крайней мере, соответствует духу теоремы. Теорема комбинаторная, и Эйлер дал комбинаторное доказательство. Эйлер напрямую использовал связь между вершинами, ребрами и гранями. При удалении вершины для компенсации добавляются или удаляются грани и ребра, так что знакопеременная сумма не изменяется.

С другой стороны, Лежандр для доказательства теоремы ввел понятия, на первый взгляд совершенно с ней не связанные: сферы, углы и площадь. Его подход совершенно законный и весьма остроумный, но из него не видно, почему теорема справедлива, — по крайней мере, не сразу. Тем не менее доказательство Лежандра — первый намек на то, что это нечто большее, чем просто комбинаторная теорема. Тот факт, что мы можем доказать теорему, используя метрическую геометрию, наводит на мысль о важной связи между формулой Эйлера и геометрией. Мы вернемся к этой теме в главах 20 и 21.

И последнее замечание о доказательстве Лежандра. В подходе Эйлера мы осторожно (осторожнее, чем сам Эйлер) применяли формулу только к выпуклым многогранникам. Как и Эйлер, Лежандр предполагал, что многогранники выпуклые. Но в приложении к статье 1809 года Луи Пуансо (1777–1859) заметил, что доказательство Лежандра применимо к несколько более широкому классу тел — звездным многогранникам82.

Первым шагом в доказательстве Лежандра было проецирование многогранника на сферу. Для этого нам нужна внутренняя точка x, являющаяся центром проекции. Эта точка должна обладать тем свойством, что из нее «видна» любая точка многогранника. Для выпуклого многогранника мы можем выбрать любую внутреннюю точку. В большинстве же невыпуклых многогранников такой точки нет, а те, в которых она есть, называются звездными (или звездчатыми). Многогранник Кеплера, показанный на рис. 6.6, — пример звездного многогранника, как и те, что показаны на рис. 10.12. В каждом из них существует внутренняя точка, из которой «видно все» и которая, следовательно, может быть выбрана в качестве центра проекции. Пуансо объяснил это следующим образом:

[Формула Эйлера] остается верной для любого многогранника с входящими телесными углами, при условии что внутри тела можно найти точку, являющуюся центром сферы такой, что когда на нее проецируются грани тела с помощью прямых, исходящих из центра, то их проекции на сфере не пересекаются; я хочу сказать, что никакая грань, полностью или частично, не проецируется на проекцию другой грани. Как легко видеть, это условие применимо к бесконечному числу многогранников с входящими телесными углами. Истинность этого утверждения легко устанавливается из самого доказательства г-на Лежандра, в которое не нужно вносить никаких изменений83.

Рис. 10.12. Звездные многогранники

Рис. 10.13. Луи Пуансо

Благодаря Лежандру к концу XIX века под формулу Эйлера было подведено прочное основание для всех выпуклых многогранников, а его популярный учебник раскрыл красоту этой формулы широкой аудитории. В последующие годы Пуансо и другие авторитетные математики были заворожены этим элегантным соотношением. Они искали новые доказательства и дальнейшие обобщения. Чтобы понять некоторые из этих обобщений, нам предстоит познакомиться с теорией графов. Истоки этой дисциплины восходят — неудивительно — к Эйлеру и математической головоломке о мостах города Кёнигсберга.

Приложения к главе

77. Albers (1994).

78. Lohne (1972).

79. Quoted in Itard (1972).

80. Girard (1629).

81. Quoted in Itard (1972).

82. Poinsot (1810).

83. Poinsot (1810).

Глава 11

Прогулка по Кёнигсбергу

Что толку