«Пусть четное число А имеет нечетную половину; я утверждаю, что А будет только, четно-нечетным. Теперь, что оно будет четно-нечетным, очевидно, ибо его половина, будучи нечетной, измеряет его четное число раз (опр. 9). Вот я утверждаю, что и только. Действительно, если А будет и четно-четным, то, оно измерится четным по числу единиц в четном числе (опр. 8), так что и половина его измерится четным числом, будучи нечетной; это же нелепо. Значит, А будет только четно-нечетным, что и требовалось доказать» (IX, 33).

Было бы крайне странно полагать, что первоначальное прямое доказательство было заменено косвенным — греческая математика, систематически избегала таких операций. Словом, все говорит за то, что это учение дошло, до нас в своем, первоначальном виде. Отсюда следуют два важных «вывода: 1) наглядность математических фактов, и их дедуктивное доказательство вовсе, не находятся в непримиримом противоречии;

2) доказательство от противного родилось внутри математики, причем на самом раннем этапе ее развития, и лишь затем элеаты попытались применить его в философии.

Другой пример очень раннего применения косвенного доказательства — теорема о равенстве сторон треугольника, стягивающих равные углы (Евкл. I, 6), обратная доказанной Налесом теореме о равенстве углов в равнобедренном треугольнике. Она относится к реконструированному ван дер Верденом ранцепифагорейскому учебнику математики и была, вероятно, доказана либо в поколении Пифагора, либо в следующем за ним{101}.

Своеобразным связующим звеном между геометрией и арифметикой была теория фигурных чисел, устанавливавшая взаимосвязь чисел с геометрическими фигурами. Хотя прямых свидетельств, относящих ее к Пифагору, нет, многое говорит в пользу его авторства.

Построение фигурных чисел (треугольных, квадратных, прямоугольных и т. д.) с помощью гномона (угольника) представляет собой суммирование простых арифметических рядов, например, четных и нечетных чисел:

1+3+5+.. +(2n–1)=n2 — квадратное число;

2+4+6+.. +2n=n (n–1) — прямоугольное число.

По своему характеру оно принадлежит к тому же типу раннепифагорейской «псефической» арифметики, что и теория четных и нечетных чисел. В то же время это учение явно предшествует развитому в первой половине V в. до н. э. методу приложения площадей (II книга Евклида), в котором также присутствуют построения с помощью гномона. Наконец, принято считать, что метод определения Пифагоровых троек, который приписывают Пифагору, был найден им как раз при построении квадратных чисел.

Основные положения теории фигурных чисел не попали в собрание Евклида, они даются в популярней форме в книгах Никомаха, Тебнй Смирнского и Ямвлиха. Никомах не приводит в своей книге никаких доказательств, тем не менее очевидно, что они содержались в том материале, который он использовал и к которому практически ничего не добавил. Это следует хотя бы из предложений, совпадающих с Евклидом: у последнего доказательства есть, а у Никомаха они опущены, потому что он писал для публики, которая ими не интересовалась. Если Пифагор строго доказывал все элементарные положения о четных и нечетных числах, то и теорию фигурных чисел он должен был строить на той же дедуктивной основе. Вот, например, как могла доказываться одна из ее теорем, упоминаемая Ямвлихом{102}.

Требуется доказать, что прямоугольное число — это удвоенное треугольное число. По определению, прямоугольное число — это сумма ряда четных чисел, начиная с 2, а треугольное число — это сумма ряда натуральных чисел, начиная с 1. Поскольку последовательный ряд четных чисел представляет собой удвоение ряда натуральных чисел, очевидно, что прямоугольное число, является удвоением треугольным числом.

Доказательство легко иллюстрируется при помощи псефов:

От построения треугольных, и квадратных чисел можно перейти к стереометрической задаче и попытаться построить тело, ограниченное равносторонними треугольниками и квадратами, — в таком случае получится тетраэдр и куб. При исследовании свойств квадратных чисел был вероятнее всего, найден и метод определения Пифагоровых троек — длин сторон прямоугольного треугольника. Его можно представить следующим образом. Прибавляя к квадрату гномон, мы получаем следующий квадрат, следовательно, нужно найти такой гномон, который сам был бы квадратным числом:

Пусть а и а1 — стороны квадратов, гномон m2=2а+1; тогда:

a = m2-1/2 (1)

a1 = a+1 = m2+1/2 (2)

Чтобы т2 удовлетворяло (1) и (2) равенствам, т должно быть нечетным. Отсюда получаем:

m2+(m2-1/2)2 = (m2+1/2)2

что отвечает теореме Пифагора. Другой метод определения сторон в прямоугольном треугольнике (начиная с четного числа) был предложен позже Архитом.

Выше мы уже цитировали Ямвлиха, приписывавшего Пифагору открытие дружественных чисел, каждое из которых равно сумме делителей другого, например, 220 и 284. Хотя в целом Ямвлих источник ненадежный, в данном случае у нас как будто нет оснований для сомнений. Сложнее дело обстоит с родственной задачей — совершенными числами, равными сумме собственных делителей:

1+2+3=6 или 1+2+4+7+14=28.

Совершенные числа рассматриваются у Никомаха, который даеъ общее правило их; отыскания: если сумма членов геометрического ряда будет простым числом, то умножив ее на последний член ряда, — мы получим совершенное число (Intrj I, 16). Доказательство этого правила у Никомаха, как обычно; отсутствует, но оно есть у Евклида (IX, 36), причем непосредственно примыкает к учению о четном и нечетном (IX, 21–34). При некогором изменении оно может быть дано лишь с опорой на предложения 21–34{103}. Если это доказательство действительно было первоначальным, его можно отнести к самому раннему этапу пифагорейской арифметики.

Рассматривая математические занятия Пифагора, нельзя не заметить в них преобладания арифметической части над геометрической. Едва ли это можно объяснить лишь состоянием наших источников. Так, например, Архит (47 В 4) считал арифметику более строгой, чем геометрия, — это должно указывать на развитость пифагорейской арифметики еще в первой половине V в. до н. э. Диоген Лаэрций со ссылкой на историка конца IV в. до н. э. Антиклида писал, что Пифагор уделял больше всего внимания арифметической стороне геометрии (Д. Л. VIII, 11). Упоминал об этом и Аристотель: «Пифагор занимался математическими дисциплинами, и в частности числами». Тем не менее, очень вероятно, что Пифагору принадлежит еще целый ряд теорем, относящихся к планиметрии первых четырех книг Евклида. Хотя свидетельств об этом не сохранилось, данный нами перечень открытий Пифагора в математике не следует, естественно, рассматривать. как исчерпывающий.

Вместе с тем нас не должна удивлять сравнительная немногочисленность