Несмотря на то что формула Эйлера — одна из самых известных в математике, его доказательство практически неизвестно нынешним математикам. Тому есть несколько причин. Как мы увидим, доказательство Эйлера не удовлетворяет современным стандартам строгости. Кроме того, после 1751 года было дано много доказательств формулы Эйлера, более простых и прозрачных, чем найденное самим Эйлером. И тем не менее доказательство Эйлера весьма изобретательно, и в нем не используются метрические свойства многогранников. Первое по-настоящему строгое доказательство дал Лежандр в 1794 году, через сорок лет после Эйлера64. В этом удивительном доказательстве, которое мы приведем в главе 10, Лежандр воспользовался геометрическими свойствами сферы.

Доказательство Эйлера стало предтечей современных комбинаторных доказательств. Он воспользовался методом рассечения, чтобы, взяв сложный многогранник, быть может, с большим числом вершин, свести его к более простому путем применения систематической процедуры. Эйлер предлагает удалять вершины многогранника по одной, пока не останется всего четыре, образующие треугольную пирамиду. Следя за числом вершин, ребер и граней на каждом этапе и используя известные свойства треугольной пирамиды, он смог прийти к выводу, что V — E + F = 2 для исходного многогранника.

Прежде чем переходить непосредственно к доказательству Эйлера, рассмотрим пример. Взгляните на декомпозицию куба на рис. 7.3. На каждом этапе мы удаляем одну вершину куба, отрезая от него треугольные пирамиды, и продолжаем это делать, пока не останется одна треугольная пирамида. Поскольку куб — сравнительно простой многогранник, для удаления вершины достаточно отрезать одну пирамиду. Но в общем случае для этого, возможно, придется отрезать несколько пирамид. В табл. 7.1 показано количество вершин, ребер и граней на каждом этапе декомпозиции.

Рис. 7.3. Удаление вершин куба с целью получения тетраэдра

Таблица 7.1. Преобразование куба в тетраэдр путем удаления вершин по одной

Можно было бы рассчитывать, что при уменьшении числа вершин число граней и ребер уменьшается, следуя какой-то предсказуемой закономерности. Но, как показывает таблица, в этой последовательности нет очевидного порядка. В нашем примере число граней сначала увеличивается и только потом начинает уменьшаться — в исходном многограннике было шесть граней, а после отрезания вершин их становится семь, затем снова семь, потом шесть и, наконец, четыре. Этот путь ведет в тупик. Ключом к доказательству Эйлера является проницательное наблюдение, что разность между числом ребер и числом граней уменьшается на единицу после удаления каждой вершины (это видно из последнего столбца таблицы). Как мы увидим, в этом вся соль доказательства Эйлера.

Вначале мы имеем многогранник с V вершинами, E ребрами и F гранями. Наша первая задача — удалить вершину многогранника, чтобы в новом многограннике вершин было меньше, чем в исходном. После этого мы должны посчитать число граней и ребер в получившемся многограннике. Пусть O — вершина, подлежащая удалению, и предположим, что в ней сходится n граней (и, следовательно, n ребер). Эйлер увидел, что O можно удалить, отрезав n — 2 треугольных пирамид с вершиной O. Например, вершина в многограннике на рис. 7.4 образована схождением 5 граней, и для ее удаления нужно отрезать 3 пирамиды.

Рис. 7.4. Удаление вершины O путем отрезания пирамид

Мы хотели знать, сколько граней и ребер в уменьшенном многограннике. На примере куба мы видели, что простого ответа на этот вопрос нет. Необходимо рассмотреть три случая. Сначала рассмотрим самый простой: предположим, что все грани, сходящиеся в O, треугольные. Отрезав O, мы удалим эти n граней, но под n — 2 отрезанными пирамидами обнаружим n — 2 новых треугольных граней. В предположении, что все новые треугольные грани лежат в разных плоскостях, число граней нового многогранника будет равно

F — n + (n — 2) = F — 2,

где F — исходное число граней.

По ходу дела мы удаляем также n ребер, сходящихся в вершине O, но добавляем n — 3 ребра, разделяющих n — 2 новые треугольные грани. Таким образом, число ребер в новом многограннике равно

E — n + (n — 3) = E — 3,

где E — исходное число ребер.

Снова взглянем на рис. 7.4. Мы начали с многогранника, имеющего 11 граней и 20 ребер. После отрезания трех пирамид получился многогранник с 11 — 2 = 9 гранями и 20 — 3 = 17 ребрами.

В приведенном рассуждении мы сделали два предположения о декомпозиции многогранника. Первое — что все грани, сходящиеся в вершине O, треугольные, второе — что новые треугольные грани многогранника не компланарны. Теперь следует рассмотреть, что будет, если одно или оба предположения не выполняются.

Предположим, что одна из граней, сходящихся в O, не треугольная (например, закрашенная грань на рис. 7.5). Тогда при отрезании пирамиды, одна из граней которой лежит в плоскости этой грани, эта грань не убирается из многогранника полностью. Кроме того, добавляется новое ребро там, где эта грань разрезана на две части. Таким образом, число граней и ребер в новом многограннике на единицу больше, чем предполагалось ранее. В этом примере мы начали с многогранника, имеющего 12 граней и 23 ребра. После отрезания пирамид получается многогранник с 12 — 2 + 1 = 11 гранями и 23 — 3 + 1 = 21 ребром. В общем случае, если исходный многогранник имеет s нетреугольных граней, сходящихся в O, то количество граней и ребер будет на s больше, чем ожидалось. Поэтому число граней равно F — 2 + s, а число ребер равно E — 3 + s.

С другой стороны, предположим, что две из новых треугольных граней расположены рядом и лежат в одной плоскости (например, закрашенные грани на рис. 7.6). Тогда они привнесут в результирующий многогранник не две разные грани, а одну четырехугольную грань. Таким образом, получится на одну грань меньше, чем предполагалось. Поскольку между этими гранями нет ребра, ребер тоже будет на одно меньше. В примере на рис. 7.6 мы начали с многогранника, имеющего 11 граней и 20 ребер. После отрезания пирамид стало 11 — 2–1 = 8 граней и 20 — 3–1 = 16 ребер. если такое происходит t раз, то граней и ребер будет на t меньше, чем ожидалось. Поэтому в результирующем многограннике число граней будет равно F — 2 + s — t, а число ребер — E — 3 + s — t.

Рис. 7.5. Нетреугольная грань привносит одну новую грань и одно новое ребро в новый многогранник