500, умноженное на 500, дает 250000. Берем 500 и 250000 в качестве опорных чисел.

Например:

5062 =

506 больше, чем 500, поэтому рисуем кружок вверху. В него вписываем 6.

Число в кружке следует прибавлять к числу тысяч.

250 + 6 = 256 тысяч

Возведем в квадрат число в кружке:

62 = 36

256000 + 36 = 256036 ОТВЕТ

Разберем другой пример:

250 + 12 = 262

Промежуточный ответ — 262000

122 = 144

262000 + 144 = 262144 ОТВЕТ

Для возведения в квадрат чисел, которые немного меньше 500, используйте следующий способ.

Рассмотрим пример:

4882 =

488 меньше, чем 500, поэтому рисуем кружок внизу. Поскольку 488 на 12 меньше, чем 500, вписываем в кружок 12.

250 тысяч минус 12 тысяч дает 238 тысяч. Прибавляем 12 в квадрате (122 = 144).

238000 + 144 = 238144 ОТВЕТ

Можно добиться результата еще более впечатляющим способом.

Например:

250000 + 35000 = 285000

352 = 1225

285000 + 1225 = 286225 ОТВЕТ

Все это легко рассчитывается в уме. Мы использовали два ускоряющих метода: метод для возведения в квадрат чисел, близких по значению к 500, и метод для возведения в квадрат чисел, оканчивающихся на 5.

А как насчет 635?

250000 + 135000 = 385000

1352 = 18225

Чтобы вычислить 1352, мы используем способ для вычисления квадрата чисел, оканчивающихся на 5, и способ для перемножения чисел больше 10, но меньше 20 (13 + 1 = 14, 13 х 14 = 182). Приписываем 25 справа к 182, получаем: 1352= 18225.

Можно произносить полученный ответ так: «Восемнадцать тысяч, два, два, пять».

Чтобы прибавить 18000, прибавляем 20 и вычитаем 2.

385 + 20 = 405

405 — 2 = 403

Припишем 225 справа.

Искомый ответ: 403225.

Попробуйте решить следующие примеры самостоятельно:

а) 5062 = __; б) 5342 = __; в) 4892 = __; г) 4452 = __

Ответы:

а) 256036; б) 285156; в) 23912;1 г) 198025

Решим последний пример вместе:

250 — 55 = 195 (195 х 1000 = 195000)

552 = 3025 (используем способ для возведения в квадрат чисел, оканчивающихся на 5)

195000 + 3025 = 198025

Мы могли бы решить данный пример, используя лишь способ возведения в квадрат чисел, оканчивающихся на 5. Число, составленное из цифр перед 5, равно 44.

Припишем 25 справа к промежуточному ответу 1980 и получим 198025.

Таким образом, у вас теперь есть несколько методов на выбор.

Числа, оканчивающиеся на 1

Данный способ применяется для возведения в квадрат любого числа, оканчивающегося на 1. Если вы попробуете перемножить два подобных числа традиционным способом, то поймете, почему данный метод работает. Например:

312 =

Во-первых, вычтем 1 из числа, возводимого в квадрат. Число теперь оканчивается на нуль, и его легко возвести в квадрат.

302 = 900 (3 х 3 х 10 х 10)

Это наш промежуточный результат.

Во-вторых, сложим 30 и 31 (число, которое мы возвели в квадрат, и число, которое собираемся возвести в квадрат):

30 + 31 = 61

Прибавим полученный результат к 900 и получим 961.

900 + 61 = 961 ОТВЕТ

На втором этапе решения вы могли бы просто удвоить число, которое ранее возвели в квадрат (30 х 2 = 60), а затем прибавить 1.

Разберем другой пример:

1212 =

121 — 1 = 120

1202 = 14400 (12 х 12 х 10 х 10)

120 + 121 = 241

14400 + 241 = 14641 ОТВЕТ

Попробуем еще:

3512 =

3502 = 122500 (используем способ для возведения в квадрат чисел, оканчивающихся на 5)

350 + 351 = 701

122500 + 701 = 123201 ОТВЕТ

Еще один пример:

862 =

Можно использовать способ для возведения в квадрат чисел, оканчивающихся на 1, а также для чисел, оканчивающихся на 6. Например, вычислим 862. Будем рассматривать 86 как число, которое на 1 больше 85.

852 = 7225

85 + 86 = 171

7225 + 171 = 7396 ОТВЕТ

Попробуйте решить следующие примеры самостоятельно:

a) 212 = __; б) 412 = __; в) 612 =__; г) 712 = __; д) 812 = __; е) 1312 = __; ж) 1412 = __; з) 662 = __

Ответы:

a) 441; б) 1681; в) 3721; г) 5041; д) 6561; е) 17161; ж)19881; з) 4356

Чтобы решить эти примеры в уме, я называю первый промежуточный результат в виде сотен — тогда вторую часть ответа легче прибавлять. Например, для возведения в квадрат 71 в уме я проговариваю про себя: «Семьдесят в квадрате равно сорок девять сотен; семьдесят на два — сто сорок, пятьдесят сотен и сорок плюс один, пять тысяч сорок один (5041)».

На самом деле я говорю еще короче: «Сорок пять сотен; пять тысяч сорок… один».

Чтобы найти квадрат 66 в уме, я говорю про себя: «Шестьдесят пять в квадрате — сорок два и двадцать пять», использовав способ для возведения в квадрат чисел, оканчивающихся на 5. «Шестьдесят пять на два равно сто тридцать, сорок три пятьдесят пять плюс один, сорок три пятьдесят шесть (4356)».

Теперь попробуйте решить примеры, предложенные выше, в уме.

Числа, оканчивающиеся на 9

Пример:

292 =

Во-первых, прибавим 1 к числу, возводимому в квадрат. Теперь оно оканчивается на 0, и его квадрат легко найти.

302 = 900 (3 х 3 х 10 х 10)

Это наш промежуточный результат. Теперь сложим 30 и 29 (число, которое мы возвели в квадрат, и число, которое собираемся возвести в квадрат):

30 + 29 = 59

Вычтем 59 из 900 и получим в ответе 841. (Я удваиваю 30, получая 60, а затем вычитаю 60 из 900 и потом прибавляю 1.)

900 — 59 = 841 ОТВЕТ

Разберем еще один пример:

1192 =

119 + 1