Пропорции

Леонардо да Винчи. Пропорциональный канон

Многовековой опыт искусства, в котором прочно утвердились такие категории, как «целостность», «единство», «гармоничность», может быть перенесен и на характеристики произведений, о которых мы говорим: целостное произведение, композиционное единство, гармоничная композиция. Законы, по которым создаются такого рода произведения искусства, принято называть законами гармонии. К ним относятся закон равновесия, закон единства и соподчинения. Однако и без художественных средств, помогающих создавать композиции по законам гармонии, не обойтись. К их числу, как вы уже знаете, относятся ритм, контраст, нюанс, тождество, а также пропорции и масштаб. Это основные средства гармонизации. Композиций, созданных без их участия, просто не существует. Напомним, что во времена Гомера гармониями называли скрепы, соединяющие доски в обшивке корабля. Лишенный гармоний корабль распадался на отдельные доски.

Обратим внимание на одно из важнейших средств гармонизации — пропорции (связи частей и целого). Продолжая тему единства целостного произведения, мы утверждаем, что пропорции и есть именно то средство, в основе которого заложена идея соотношения целого и составляющих это целое частей. Под пропорцией понимается отношение частей целого между собой и этим целым.

В эпоху Ренессанса среднепропорциональное отношение называли Божественной пропорцией. Леонардо да Винчи, занимаясь системами пропорционирования, дает ей название «золотое сечение».

Построим отрезки в пропорциях золотого сечения. В прямоугольнике с соотношением сторон 1:2 проводится диагональ, на которую поворотом накладывается меньшая сторона. Остаток диагонали поворачивается вокруг вершины прямоугольника до совмещения с положением верхнего основания. Таким образом, верхнее основание поделилось на два неравных отрезка в пропорции золотого сечения.

a/b = b/(a+b) = 0.618 = const

Если с = 1, то b = 0,618, а = 0,382;

если b = 1, то с = 1,618, а = 0,618;

если а = 1, то b = 1,618, с = 2,618.

Вот как древние ученые понимали пропорцию: «Две части или две величины не могут быть связаны между собой без посредства третьей… Достигается это… пропорцией (аналогией), в которой из трех чисел… среднее так относится ко второму, как первое к среднему, а такясе второе к среднему, как среднее к первому».

Стоит отметить особую роль среднего пропорционального. Оно содержит в себе качественное обобщение, так как выражается одним числом, а не множеством. Вот почему пропорции так существенны в выражении гармонии.

Основные пропорции:

1) арифметическая а — х = х — b, где среднее арифметическое x= (а + b)/2;

2) геометрическая a/x = x/b, где среднее геометрическое х = корень квадратный из ab;

3) гармоническая (a-x)/(x-b) = a/b, где среднее гармоническое х находится по формуле 1/x = 1/2(1/a+1/b);

4) золотое сечение — это деление целого на две неравные части так, чтобы целое относилось к большей, как большая к меньшей: (а + b)/a = a/b = (кв. корень из 5 + 1)/2 = 1,618 = Ф (число Фибоначчи), где Ф в степени -1 = 0,618, Ф + 1 = Ф в квадрате.

Построим квадрат. Рассечем его пополам вдоль вертикали на две равные части и получим два полуквадрата — два прямоугольника с отношением сторон 1:2. Разделим его пополам, на этот раз по диагонали. Это действие повлекло за собой развитие новых качеств: неравенство углов и несоразмерность отрезков. Появились числа корень из 2 и корень из 5. Диагональ полуквадрата (колрень из 5) и есть отношение золотого сечения Ф: сторона 2 есть среднее между диагональю корень из 5, увеличенной на сторону 1, и этой же диагональю, уменьшенной на сторону 1.

(корень из 5–1)/2 = 2/(корень из 5–1) = 1,61803398875… = Ф

Золотое сечение (Божественная пропорция) объединяет элементы целого (прямой угол и расстояние между вершинами 1, 2 и корень из 5) в целое — двойной квадрат.

Свойство аддитивности линейного ряда золотого сечения состоит в том, что каждый отрезок равен сумме или разности двух смежных отрезков.

С открытием в 1202 году ряда Фибоначчи было обнаружено основное свойство золотого сечения — единство аддитивности и мультикативности. Это и есть суть золотого сечения. В нем ключ к явлению формообразования, открыто лежащий на поверхности математического знания. Но чтобы увидеть эту особенность, потребовалось сначала обнаружить механизм формообразования индуктивным путем.

В математике понятие «аддитивность» означает, что в числовом ряду Ф1; Ф2, Ф3, Ф4 … Фn-1, Фn каждый последующий член равен сумме двух предыдущих. Причем за начало такого ряда можно принять любые два числа, например 0 и 1, 1 и 3 или 1 и 4 и т. д.

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610…

1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, 199, 322, 521, 843, 1364, 2207… 1, 4, 5, 9, 14, 23, 37, 60, 97, 157, 254, 411, 665, 1076, 1741, 2817…

Мультипликативность означает, что в числовом ряду Ф1 , Ф2, Ф3, Ф4 … Фn-1, Фn все члены ряда связаны в геометрическую прогрессию: Ф1 : Ф2 = Ф2: Ф3 = Ф3: Ф4 =…= Фn-1: Фn = const.

Число золотого сечения, соединяющее свойства аддитивности и мультипликативности, находится как общий корень двух уравнений:

а + b = с (аддитивность)

а: b = b: с (мультипликативность),

в которых целое «с» представлено состоящим из двух частей а + Ь. Отношение золотого сечения — широко распространенная закономерность организации живой природы, которая за единством аддитивности и мультипликативности скрывает глобальный принцип построения мироздания.

Понятие аддитивности свидетельствует о том, что целое структурно… Понятие мультипликативности означает, что на все части структурно организованного целого распространяется одна и та же закономерность роста.

Например, в природе золотое сечение распространено очень широко — как числовая характеристика членения стеблей растений, их расположения на стволе, закручивания спиралей подсолнечника, описание пропорций человеческого тела, строения раковины, яйца, яблока и т. д.

Поликлет. Дорифор. V в. до н. э.

Певучесть скрипки, красота ее голоса находится в прямой зависимости от того, в какой мере форма инструмента согласована с пропорцией золотого сечения. Анализ музыкальных произведений в диапазоне от Баха до Шостаковича продемонстрировал метрические отношения основных разделов музыкальных форм, а также золотое сечение. Таким образом, законы гармонии обнаруясены в музыкальных рядах, в таблице Менделеева, в расстояниях между планетами, в микро- и макрокосмосе, во многих областях науки. Скульптура, архитектура, астрономия,