343 — 42 = 301

301 х 100 (основное опорное число) = 30100

12 х 7 = 84

30100 + 84 = 30184

Почему работает данный метод?

Подробное объяснение я давать не буду, а попробую показать на примере. Рассмотрим произведение 8 х 17.

Мы могли бы удвоить 8, чтобы получить 16, затем умножить 16 на 17 и взять половину ответа, который и будет правильным для исходной задачи. Это довольно длинный путь, однако он показывает, почему метод с использованием двух опорных чисел работает. Будем использовать 20 в качестве опорного числа.

Вычтем 4 из 17 и получим 13. Умножив 13 на опорное число 20, получим в ответе 260. Теперь перемножим числа в кружках:

4 х 3 = 12

Прибавив 12 к промежуточному ответу 260, получим окончательный результат: 272. Но мы ведь умножали на 16 вместо 8, поэтому на самом деле удвоили ответ. 272, деленное на 2, дает нам ответ для примера 8 х 17, а именно 136.

Половина от 272 равна 136. Таким образом:

8 х 17 = 136

Итак, мы удвоили множитель в самом начале, а затем уменьшили ответ вдвое в самом конце. Эти две операции взаимно гасят друг друга. При этом можно избавиться от значительной части вычислений. Посмотрим, как в данном случае работает метод двух опорных чисел:

Обратите внимание, что мы вычитаем 4 из 17 во втором способе решения; то же самое мы сделали, когда решали по первому способу. В результате мы получили 13, которое затем умножили на 10. Решая первым способом, мы удвоили 13 перед тем, как умножать его на 10, а затем уменьшили в два раза ответ в конце. Решая вторым способом, мы перемножили числа в кружках (2 и 3), что дало в ответе 6, то есть половину от 12, полученного при решении первым способом.

Можно использовать любую комбинацию опорных чисел. Общие правила таковы:

• Прежде всего на роль опорных чисел надо подбирать те, на которые легко умножать, то есть 10, 20, 50 и т. д.

• Второе опорное число должно являться кратным основному, то есть превышать его вдвое, втрое, вчетверо и т. д.

Поэкспериментируйте с предложенными способами решений самостоятельно. Всегда имеется возможность как-то упростить математические вычисления. И всякий раз, используя данные методы, вы совершенствуете свои математические навыки.

Глава 8

Сложение

Большинство из нас считает сложение более легкой операцией, чем вычитание. В настоящей главе мы узнаем, как сделать сложение еще проще.

Как бы вы складывали 43 и 9 в уме?

Легче всего было бы прибавить сначала 10, получив 53, и затем отнять 1. Ответом является 52.

Легко прибавлять 10 к любому числу: 36 плюс 10 равно 46; 34 плюс 10 равно 44 и т. д. Просто увеличивайте число десятков на 1 всякий раз, когда к числу прибавляется 10 (подробнее см. главу 6).

Основное правило для выполнения сложения в уме звучит так:

Чтобы прибавить к числу 9, прибавьте к нему 10 и отнимите 1; чтобы прибавить 8, прибавьте 10 и отнимите 2; чтобы прибавить 7, прибавьте 10 и отнимите 3 и т. д.

Если к числу надо прибавить 47, прибавьте к нему 50 и отнимите 3. Чтобы прибавить 196, прибавьте 200 и отнимите 4. Это позволяет удерживать числа в уме. Чтобы прибавить 38 к числу, прибавьте 40 и отнимите 2. Чтобы прибавить 288 к числу, прибавьте 300, а затем отнимите от результата 12.

Попробуйте выполнить сложение в уме. Произнесите вслух ответ. Для 34 + 9 не говорите: «Сорок четыре, сорок три». Сделайте поправку на единицу, уже произнося ответ, чтобы у вас просто получилось: «Сорок три». Попробуйте решить приведенные ниже примеры. Для двух из них предлагается подсказка.

Ответы:

a) 64; б) 47; в) 85; г) 74; д) 55; е) 33

Сложение в уме двузначных чисел

А как бы вы прибавляли 38 к числу? Чтобы прибавить 38, надо сначала к числу прибавить 40, а затем вычесть 2 из полученной суммы.

А как насчет 57? Прибавляем 60 и вычитаем 3.

Как прибавить 86? Прибавляем 100 и вычитаем 14.

Есть простое правило для прибавления одного числа к другому в уме:

Если цифра единиц в прибавляемом числе больше 5, то число необходимо округлить в сторону увеличения, а затем вычесть ошибку округления из полученной суммы. Если же цифра единиц меньше, то прибавляем сначала десятки, а потом единицы.

Находя сумму двузначных чисел в уме, сначала складывайте цифры, обозначающие десятки в обоих числах, и только потом единицы. Если же цифра единиц у прибавляемого числа больше или равна 5, округляем его в сторону увеличения, вычисляем сумму, а затем вычитаем из результата разницу между округленным значением и исходным числом. Например, прибавляя 47, прибавляйте 50, а затем вычитайте 3 из результата.

Чтобы сложить 35, 67 и 43, начинаем с 35, к которому прибавляем 70, что дает нам 105, вычитаем 3 (получается 102), прибавляем 40 (в сумме 142), а затем еще 3 (число единиц), получая окончательный ответ 145.

Немного попрактиковавшись, вы сможете убедиться, что в состоянии удерживать складываемые числа в уме.

Попробуйте решить следующие примеры самостоятельно:

а) 34 + 48 = __; б) 62 + 26 = __; в) 82 + 39 = __; г) 27 + 31 = __; д) 33 + 44 = __; е) 84 + 76 = __; ж) 44 + 37 = __

Ответы:

а) 82; б) 88; в) 121; г) 58; д) 77; е) 160; ж) 81

В последнем примере вы могли заметить, что 37 на 3 меньше, чем 40, поэтому можно прибавить 40, а затем вычесть 3. Или же можно было сначала вычесть 3 из 44, получив 41, перед тем как прибавлять 40, что даст в ответе те же 81. Решая подобные задачи в уме, со временем вы обнаружите, что они совсем нетрудные, и начнете находить способы для еще большего упрощения счета.

Сложение трехзначных чисел

Чтобы найти сумму трехзначных чисел, используем тот же метод.

Складывая 355, 752 и 694, можно было бы по